Question

請你先閱讀下面的問題和證明，然后解答問題1?問題3．
已知，如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°．分別以AB，AC為邊向形外作等邊△ABD和等邊△ACE，連結(jié)DE交AB于點F．易證：DF=EF．
問題1：在上面的證明過程中，使用了“易證“二字．請你把“易證“的理由補寫出來．
問題2：對于原問題，如果去掉條件∠ACB=90°，其他條件不變，如圖3，試探究結(jié)論DF=EF是否成立？并說明理由．
問題3：將原問題的條件改變?nèi)缦拢喝鐖D3，AB平分∠DBC，△ABD∽△CAE，再次探究結(jié)論DF=EF是否成立？并說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）作DG⊥AB，易證△ABC≌△DBG，可得DG=AC，即可證明△DGF≌△EAF，可得DF=EF；
（2）作DG∥AE，連接EG，易證∠BAC=∠BDG，即可證明△ABC≌△DBG，可得DG=AC，即可判定四邊形AEGD為平行四邊形，即可解題；
（3）作DG∥AE，易證△EAF∽△DGF，可得

DG

AE

=

DF

EF

，易證△BDG∽△BAC，可得

DG

AC

=

BD

AB

，根據(jù)△ABD∽△CAE可得

AB

BD

=

AC

AE

，即可解題．

解答：證明：（1）作DG⊥AB，

∵△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∵△ACE、△BDG為等邊三角形，
∴AC=AE，∠CAE=60°，∠ABD=60°，AB=BD，
∴∠EAF=90°，∠BDG=30°，
在△ABC和△DBG中，

∠ACB=∠DGB=90° ∠ABC=∠DBG=60° BD=AB

，
∴△ABC≌△DBG，（AAS）∴DG=AC，∴DG=AE，
在△DGF和△EAF中，

∠DFG=∠AFE ∠DGF=∠EAF=90° DG=AE

，
∴△DGF≌△EAF，（AAS）
∴DF=EF；
（2）作DG∥AE，連接EG，

∵△ACE、△BDG為等邊三角形，
∴AC=AE，∠CAE=60°，∠ABD=60°，AB=BD，
∵DG∥AE，
∴∠EAF=∠DGF，
∵∠DGF=∠ABD+∠BDG，∠EAF=∠CAE+∠BAC，∴∠BAC=∠BDG，
在△ABC和△DBG中，

∠BAC=∠BDG BD=AB ∠ABD=∠ABC

，
∴△ABC≌△DBG，（AAS）∴DG=AC，∴DG=AE，
∴四邊形AEGD為平行四邊形，
∴DF=EF；
（3）作DG∥AE，

∵DG∥AE，
∴∠EAF=∠DGF，△EAF∽△DGF，
∴

DG

AE

=

DF

EF

，
∵∠DGF=∠ABD+∠BDG，∠EAF=∠CAE+∠BAC，∴∠BAC=∠BDG，
∵AB平分∠DBC，∴△BDG∽△BAC，∴

DG

AC

=

BD

AB

，即DG=

BD•AC

AB

，
∴

DF

EF

=

BD•AC

AB•AE

，
∵△ABD∽△CAE，
∴

AB

BD

=

AC

AE

，
∴

DF

EF

=

BD•AC

AB•AE

=1，即DF=EF．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，本題中求證△ABC≌△DBG和△DGF≌△EAF是解題的關(guān)鍵．