Question

如圖，順次連接邊長為1的正方形ABCD四邊的中點(diǎn)，得到四邊形A₁B₁C₁D₁，然后順次連接四邊形A₁B₁C₁D₁四邊的中點(diǎn)，得到四邊形A₂B₂C₂D₂，再順次連接四邊形A₂B₂C₂D₂四邊的中點(diǎn)，得到四邊形A₃B₃C₃D₃，…，按此方法得到的四邊形A₈B₈C₈D₈的周長為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：中點(diǎn)四邊形

專題：壓軸題,規(guī)律型

分析：根據(jù)題意，利用中位線定理可證明順次連接正方形ABCD四邊中點(diǎn)得正方形A₁B₁C₁D₁的面積為正方形ABCD面積的一半，根據(jù)面積關(guān)系可得周長關(guān)系，以此類推可得正方形A₈B₈C₈D₈的周長．

解答：解：順次連接正方形ABCD四邊的中點(diǎn)得正方形A₁B₁C₁D₁，則得正方形A₁B₁C₁D₁的面積為正方形ABCD面積的一半，即

1

2

，則周長是正方形ABCD的

2

2

；
順次連接正方形A₁B₁C₁D₁中點(diǎn)得正方形A₂B₂C₂D₂，則正方形A₂B₂C₂D₂的面積為正方形A₁B₁C₁D₁面積的一半，即正方形ABCD的

1

4

，則周長是正方形ABCD的

1

2

；
順次連接正方形A₂B₂C₂D₂得正方形A₃B₃C₃D₃，則正方形A₃B₃C₃D₃的面積為正方形A₂B₂C₂D₂面積的一半，即正方形ABCD的

1

8

，則周長是正方形ABCD的

2

4

；
順次連接正方形A₃B₃C₃D₃中點(diǎn)得正方形A₄B₄C₄D₄，則正方形A₄B₄C₄D₄的面積為正方形A₃B₃C₃D₃面積的一半，即正方形ABCD的

1

16

，則周長是正方形ABCD的

1

4

；
…
故第n個(gè)正方形周長是原來的

1 2n

，
以此類推：正方形A₈B₈C₈D₈周長是原來的

1

16

，
∵正方形ABCD的邊長為1，周長為4，
∴按此方法得到的四邊形A₈B₈C₈D₈的周長為

1

4

，
故答案為：

1

4

．

點(diǎn)評：本題考查了利用了三角形的中位線的性質(zhì)，相似圖形的面積比等于相似比的平方的性質(zhì)．進(jìn)而得到周長關(guān)系．