Question

如圖，已知拋物線y=ax²-

3

2

x+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，并與直線y=

1

2

x-2交于B、C兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C是直線y=

1

2

x-2與y軸的交點(diǎn)，連接AC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）證明：△ABC為直角三角形；
（3）△ABC內(nèi)部能否截出面積最大的矩形DEFG？（頂點(diǎn)D、E、F、G在△ABC各邊上）若能，求出最大面積；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）由直線y=

1

2

x-2交x軸、y軸于B、C兩點(diǎn)，則B、C坐標(biāo)可求．進(jìn)而代入拋物線y=ax²-

3

2

x+c，即得a、c的值，從而有拋物線解析式．
（2）求證三角形為直角三角形，我們通常考慮證明一角為90°或勾股定理．本題中未提及特殊角度，而已知A、B、C坐標(biāo)，即可知AB、AC、BC，則顯然可用勾股定理證明．
（3）在直角三角形中截出矩形，面積最大，我們易得兩種情形，①一點(diǎn)為C，AB、AC、BC邊上各有一點(diǎn)，②AB邊上有兩點(diǎn)，AC、BC邊上各有一點(diǎn)．討論時可設(shè)矩形一邊長x，利用三角形相似等性質(zhì)表示另一邊，進(jìn)而描述面積函數(shù)．利用二次函數(shù)最值性質(zhì)可求得最大面積．

解答：（1）解：∵直線y=

1

2

x-2交x軸、y軸于B、C兩點(diǎn)，
∴B（4，0），C（0，-2），
∵y=ax²-

3

2

x+c過B、C兩點(diǎn)，
∴

0=16a-6+c -2=c

，
解得

a= 1 2 c=-2

，
∴y=

1

2

x²-

3

2

x-2．

（2）證明：如圖1，連接AC，

∵y=

1

2

x²-

3

2

x-2與x負(fù)半軸交于A點(diǎn)，
∴A（-1，0），
在Rt△AOC中，
∵AO=1，OC=2，
∴AC=

5

，
在Rt△BOC中，
∵BO=4，OC=2，
∴BC=2

5

，
∵AB=AO+BO=1+4=5，
∴AB²=AC²+BC²，
∴△ABC為直角三角形．

（3）解：△ABC內(nèi)部可截出面積最大的矩形DEFG，面積為

5

2

，理由如下：
①一點(diǎn)為C，AB、AC、BC邊上各有一點(diǎn)，如圖2，此時△AGF∽△ACB∽△FEB．

設(shè)GC=x，AG=

5

-x，
∵

AG

AC

=

GF

CB

，
∴

5 -x

5

=

GF

2 5

，
∴GF=2

5

-2x，
∴S=GC•GF=x•（2

5

-2x）=-2x²+2

5

x=-2[（x-

5

2

）²-

5

4

]=-2（x-

5

2

）²+

5

2

，
即當(dāng)x=

5

2

時，S最大，為

5

2

．
②AB邊上有兩點(diǎn)，AC、BC邊上各有一點(diǎn)，如圖3，此時△CDE∽△CAB∽△GAD，

設(shè)GD=x，
∵

AD

AB

=

GD

CB

，
∴

AD

5

=

x

2 5

，
∴AD=

5

2

x，
∴CD=CA-AD=

5

-

5

2

x，
∵

CD

CA

=

DE

AB

，
∴

5 - 5 2 x

5

=

DE

5

，
∴DE=5-

5

2

x，
∴S=GD•DE=x•（5-

5

2

x）=-

5

2

x²+5x=-

5

2

[（x-1）²-1]=-

5

2

（x-1）²+

5

2

，
即x=1時，S最大，為

5

2

．
綜上所述，△ABC內(nèi)部可截出面積最大的矩形DEFG，面積為

5

2

．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)圖象的基本性質(zhì)，最值問題及相似三角形性質(zhì)等知識點(diǎn)，難度適中，適合學(xué)生鞏固知識．