Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，CA是∠BCD的平分線，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠2，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠2=∠3，然后得到∠1=∠3，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得CD=AD=6，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AE=

1

2

AC，根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似求出△ABC∽△EDC，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出BC，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．

解答：解：∵CA是∠BCD的平分線，
∴∠1=∠2，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠3，
從而∠1=∠3，
∵AD=6，
∴CD=AD=6，
過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于E，則AE=CE=

1

2

AC，
∵∠1=∠2，∠BAC=∠DEC，
∴△ABC∽△EDC，
∴

CD

BC

=

CE

AC

，
即

6

BC

=

1

2

，
∴BC=12，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=

BC2-AB2

=

122-42

=8

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理，作輔助線構(gòu)造出相似三角形并求出BC的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．