Question

如圖，已知△ABC中，O為BC的中點(diǎn)．
（1）作出圖中△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后的圖形△A′B′C′，請(qǐng)判斷四邊形AB′A′C′的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）按照（1）中的方法作圖，當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AB′A′C′是矩形、菱形或正方形？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：作圖-旋轉(zhuǎn)變換

專題：

分析：（1）連接AO并延長至A′，使A′O=AO，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)B′與點(diǎn)C重合，點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)C′與點(diǎn)B重合，然后順次連接即可；再根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明；
（2）根據(jù)矩形、菱形、正方形的定義以及判定方法解答并證明．

解答：解：（1）△A′B′C′如圖所示，
∵O為BC的中點(diǎn)，
∴BO=CO，
又∵A′O=AO，
∴四邊形AB′A′C′是平行四邊形；

（2）當(dāng)∠A=90°時(shí)，四邊形AB′A′C′是矩形，
AB=AC時(shí)，四邊形AB′A′C′是菱形，
∠A=90°且AB=AC時(shí)，四邊形AB′A′C′是正方形．
證明如下：∵∠A=90°，
∴∠A′=90°，
又∵∠AB′A′=∠AC′A′，
∴∠AB′A′=∠AC′A′=

1

2

×180°=90°，
∴?AB′A′C′是矩形；
∵AB=AC，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，
∴AA′⊥B′C′，
∴?AB′A′C′是菱形，
由上證明可知，∠A=90°時(shí)，?AB′A′C′是矩形，
AB=AC時(shí)，?AB′A′C′是菱形，
∴∠A=90°且AB=AC時(shí)，?AB′A′C′既是矩形也是菱形，
即，四邊形AB′A′C′是正方形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，主要利用了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，矩形，菱形，正方形的判定，熟練掌握各圖形的定義是解題的關(guān)鍵．