【題目】已如拋物線yax2+bx+c與直線ymx+n相交于兩點,這兩點的坐標分別是(0,﹣)和(mb,m2mb+n),其中a,b,cm,n為實數(shù),且a,m不為0

1)求c的值;

2)求證:拋物線yax2+bx+cx軸有兩個交點;

3)當﹣1≤x≤1時,設(shè)拋物線yax2+bx+cx軸距離最大的點為Px0,y0),求這時|y0|的最小值.

【答案】1c;(2)見解析;(3)當b0x00時,這時|yo|取最小值,為|yo|

【解析】

1)將(0)代入拋物線y=ax2+bx+c中即可;

2)先求n的值,再將點的坐標(m-b,m2-mb+n)代入y=ax2+bx+c中,計算0即可;

3)先根據(jù)公式分別求拋物線的對稱軸和最小值,分四種情況進行討論:

①當-1,即b2時,如圖1,在x軸上方與x軸距離最大的點是(1,yo),在x軸下方與x軸距離最大的點是(-1,yo),代入拋物線的解析式中分別求|H||h|,作判斷即可;

②當-1≤≤0,即0≤b≤2時,如圖2,

③當0≤1,即-2≤b0時,如圖3,

④當1,即b-2時,如圖4

根據(jù)圖象分別求其y0的取值范圍,可得結(jié)論.

解:(1)∵(0)在yax2+bx+c上,

a×02+b×0+c,

c;

2)又可得 n,

∵點(mbm2mb+n)在yax2+bx+c上,

m2mbamb2+bmb,

∴(a1)(mb20

若(mb)=0,則(mb,m2mb+n)與(0)重合,與題意不合,

a1

∴拋物線yax2+bx+c,就是yx2+bx,

△=b24acb2)=b2+20,

∴拋物線yax2+bx+cx軸有兩個交點;

3)拋物線yx2+bx的對稱軸為,最小值為

設(shè)拋物線yx2+bxx軸上方與x軸距離最大的點的縱坐標為H,在x軸下方與x軸距離最大的點的縱坐標為h,

①當<﹣1,即b2時,如圖1,在x軸上方與x軸距離最大的點是(1,yo),

|H|yo+b,

x軸下方與x軸距離最大的點是(﹣1,yo),

|h||yo||b|b

|H||h|,

∴這時|yo|的最小值大于;

②當﹣1≤≤0,即0≤b≤2時,如圖2,在x軸上方與x軸距離最大的點是(1,yo),

|H|yo+b≥,當b0時等號成立.

x軸下方與x軸距離最大的點是,

|h|||,當b0時等號成立.

∴這時|yo|的最小值等于

③當0≤1,即﹣2≤b0時,如圖3,在x軸上方與x軸距離最大的點是

(﹣1,yo),

|H|yo1+(﹣1bb,在x軸下方與x軸距離最大的點是 ,

|h||yo|||

∴這 |yo|

④當1,即b<﹣2時,如圖4,在x軸上方與x軸距離最大的點是(﹣1,yo),

|H|b,在x軸下方與x軸距離最大的點是(1,yo),

|h||+b|=﹣(b+)>,

|H||h|,

∴這時|yo|的最小值大于,

綜上所述,當b0,x00時,這時|yo|取最小值,為|yo|

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