【題目】從三角形一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交,頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形,若分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)三角形為等腰三角形,另一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角與原來(lái)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別相等,則稱這條線段叫做這個(gè)三角形的等角分割線

例如,等腰直角三角形斜邊上的高就是這個(gè)等腰直角三角形的一條等角分割線

(1)如圖1,在△ABC中,D是邊BC上一點(diǎn),若∠B=30°,∠BAD=∠C=40°,求證: AD△ABC等角分割線

(2)如圖2,△ABC中,∠C=90°,∠B=30°;

畫出△ABC等角分割線,寫出畫法并說(shuō)明理由;

BC=3,求出中畫出的等角分割線的長(zhǎng)度.

(3)△ABC中,∠A=24°,若△ABC存在等角分割線”CD,直接寫出所有符合要求的∠B的度數(shù).

【答案】(1)見解析(2)①見解析②2(3)44°, 52°, 54°, 108°

【解析】

⑴根據(jù)題目中的已知角的度數(shù)可以得到∠BAD=C=40°,∠ADB=BAC=110°

又∠B=B,得出△ABD的三個(gè)內(nèi)角與△ABC的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別相等;根據(jù)三角形的外角求出∠ADC=70°,BAD+CAD=110°得到∠CAD=70°得出△ADC是等腰三角形,所以AD為△ABC的“等角分割線”.

⑵①依據(jù)“等角分割線”定義畫出即可,②AD平分∠BAC ACD=30°,設(shè)CD=x,則AD=BD=2x,BC=BD+CD=2x+x=3,即可求出AD=2x=2

⑶分△ACD是等腰三角形DA=DC,DA=AC和△BCD是等腰三角形DB=BC,DC=BD四種情況,根據(jù)內(nèi)角和定理及三角形外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和計(jì)算即可.

(1)證明:∵∠B=30°,∠BAD=C=40°

∴∠ADB=BAC=110°

又∠B=B,

∴△ABD的三個(gè)內(nèi)角與△ABC的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別相等,

∵∠B=30°,BAD=40°,

∴∠ADC=B+BAD=70°

又∵∠C=40°

∴∠DAC=70°=ADC

AC=CD

∴△ADC是等腰三角形,

AD為△ABC的“等角分割線”

(2)①畫法:如圖2,畫∠BAC的角平分線,交BC于點(diǎn)D,線段AD即為所求,

理由如下:

∵∠C=90°,∠B=30°

∴∠BAC=60°

AD平分∠BAC

∴∠DAC =BAD =30°=B

∴∠ADC=60°=BAC

又∵∠C=C=90°

∴△ADC的三個(gè)內(nèi)角與△ABC的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別相等,

∵∠BAD=B

AD=BD

∴△ABD是等腰三角形,

AD為△ABCABC的“等角分割線”

②設(shè)CD=x

∵△ADC中,∠C=90°,∠DAC=30°,

AD=2x

BD=AD=2x

BC=3

x+2x=3

x=1

AD=2x=2;

(3) ①當(dāng)△BCD為等腰三角形,DB=BC時(shí),如下圖

DB=BC,ABCACD

2=3,∠1=B

∵∠2=A+1,∠2+3+B=180°

2(A+1)+B=180°

2(24°+B)+B=180°

B=44°

②當(dāng)BCD是等腰三角形,DB=DC時(shí),如下圖

DB=DCABCACD

∴∠B=2,1=B

3=2+B,∠A+1+3=180°

A+1+3=24°+B+B+B=180°

B=52°

③當(dāng)△ACD為等腰三角形,DA=CA時(shí),如下圖

2+∠3=180°-∠A=180°-24°=156°

∠2=∠3=78°

∵△ABC∽△CBD

∴∠A=∠4=24°

∵ ∠B+∠4=∠3

∴∠B=54°

當(dāng)△ACD為等腰三角形,DA=DC時(shí),如下圖

DA=DC

A=∠1=24°

∴ ∠2=∠A+∠1=48°

∵△ABC∽△CBD

∴ ∠B=∠2+∠3=∠2+∠A=108°

44°, 52°, 54°, 108°.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求n的值和拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)D在拋物線上,DEy軸交直線l于點(diǎn)E,點(diǎn)F在直線l上,且四邊形DFEG為矩形(如圖2),設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t(0t4),矩形DFEG的周長(zhǎng)為p,求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值;

(3)將AOB繞平面內(nèi)某點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)90°或180°,得到A1O1B1,點(diǎn)A、O、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A1、O1、B1.若A1O1B1的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上,那么我們就稱這樣的點(diǎn)為“落點(diǎn)”,請(qǐng)直接寫出“落點(diǎn)”的個(gè)數(shù)和旋轉(zhuǎn)180°時(shí)點(diǎn)A1的橫坐標(biāo).

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2)己知∠A36°,ABC的頂點(diǎn)B在射線l上(如圖③),點(diǎn)P是邊AB上的和諧點(diǎn),請(qǐng)?jiān)趫D③及備用圖中畫出所有符合條件的點(diǎn)B,用同一標(biāo)記標(biāo)上相等的邊,并寫出相應(yīng)的∠B的度數(shù).

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2)作出關(guān)于x軸對(duì)稱的,并寫出兩點(diǎn)的坐標(biāo).

3)求的面積。

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