Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)位于、之間，與軸交于點(diǎn)，對稱軸為直線，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方且橫坐標(biāo)小于5，則下列結(jié)論：①；②；③（其中為任意實(shí)數(shù)）；④，其中正確的是（ ）

A.①②③④B.①②③C.①②④D.①③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用拋物線與y軸的交點(diǎn)位置得到c>0，利用對稱軸方程得到x= =2，則4a+b+c=c>0，于是可對①進(jìn)行判斷；點(diǎn)位于、之間，利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)在點(diǎn)(1,0)右側(cè)，則當(dāng)x=1時，y<0，于是可對②進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到x=2時，二次函數(shù)有最大值，則ax2+bx+c4a+2b+c，于是可對③進(jìn)行判斷；由于直線y=x+c與拋物線y=ax2+bx+c交于C、D兩點(diǎn)，D點(diǎn)在x軸上方且橫坐標(biāo)小于5，利用函數(shù)圖象得x=5時，一次函數(shù)值比二次函數(shù)值大，即25a+5b+c<5+c，然后把b=4a代入解a的不等式，則可對④進(jìn)行判斷．

解：∵拋物線與y軸交于正半軸，

∴c>0．
∵拋物線的對稱軸為直線x==2，∴b=4a，
∴4a+b+c=4a4a+c=c>0，故①正確．
∵當(dāng)x=5時，y<0，且拋物線的對稱軸為直線x=2，
∴當(dāng)x=1時，y<0，∴ab+c<0，故②正確．
∵當(dāng)x=2時，二次函數(shù)有最大值，

∴ax2+bx+c4a+2b+c，
∴ax2+bx4a+2b即x(ax+b)4a+2b，故③錯誤．
∵直線y=x+c與拋物線y=ax2+bx+c交于C，D兩點(diǎn)，D點(diǎn)在x軸上方且橫坐標(biāo)小于5，
∴當(dāng)x=5時，二次函數(shù)值小于一次函數(shù)值，即25a+5b+c<5+c，而b=4a，
∴25a20a<5，解得a<1，故④正確．
故選C．