Question

如圖1，在△ACB中，∠ACB=90°．
（1）作線段AB的垂直平分線，交BC于點(diǎn)D；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）
（2）若AC=4，BC=8，求∠DAC的正切值．
20-2．知識鏈接：頂點(diǎn)都在網(wǎng)格線交點(diǎn)處的三角形叫做格點(diǎn)三角形．
如圖2，己知格點(diǎn)△ABC．
①請在圖中分別畫出與△ABC相似且面積最大的格點(diǎn)△DEF．（要求：簡述相似的理由）
②計算①中△DEF的面積．

Answer 1

解：圖1，（1）如圖所示；

（2）∵點(diǎn)D是線段AB垂直平分線上的點(diǎn)，
∴AD=BD，
∵BC=8，
∴AD=BD=8-CD，
在Rt△ACD中，AD²=AC²+CD²，
即（8-CD）²=4²+CD²，
解得CD=3，
所以tan∠DAC==；

圖2，①根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)以及勾股定理，AB==，
BC=2，AC==，
所以三邊之比為：：2：=1：：，
根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，可作三角形的最長邊為=5，
所以△DEF和△ABC的相似比為5：=，
其它兩邊分別為，2，
作圖如圖所示：
②S_△ABC=×2×1=1，
所以=（）²，
所以△DEF的面積=5×1=5．
分析：圖1，（1）分別以點(diǎn)A、B為圓心，以任意長為半徑畫弧，兩弧相交于兩點(diǎn)，過這兩點(diǎn)作直線交BC于點(diǎn)D，則點(diǎn)D即為所求；
（2）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得BD=AD，然后用CD表示出AD，在Rt△ACD中，利用勾股定理列式求出CD，再求出AD，然后根據(jù)正切=列式計算即可得解；
圖2，先利用網(wǎng)格結(jié)構(gòu)根據(jù)勾股定理求出AB、BC、AC的長度，然后求出三邊之比，再根據(jù)最長邊與網(wǎng)格結(jié)構(gòu)可以作出的三角形的最長邊求出兩三角形的相似比，利用網(wǎng)格結(jié)構(gòu)作出△DEF即可，先求出△ABC的面積，然后根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方計算即可得解．
點(diǎn)評：本題考查了利用相似變換作圖，線段垂直平分線的作法，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，相似三角形面積的比等于相似比的性質(zhì)，圖2中根據(jù)最長邊求出兩三角形的相似比是作圖的關(guān)鍵．