Question

1．已知BC是⊙O的直徑，BF是弦，AD過圓心O，AD⊥BF，AE⊥BC于E，連接FC．
（1）如圖1，若OE=2，求CF；
（2）如圖2，連接DE，并延長交FC的延長線于G，連接AG，請(qǐng)你判斷直線AG與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由AAS證明△AEO≌△BDO，得出OE=OD=2，證出OD∥CF，得出OD為△BFC的中位線，得出CF=2OD=4即可；
（2）由ASA證明△ABD≌△GDF，得出AD=GF，證出AD∥GF，得出四邊形ADFG為矩形，由矩形的性質(zhì)得出AG⊥OA，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵BC是⊙O的直徑，AD過圓心O，AD⊥BF，AE⊥BC于E，
∴∠AEO=∠BDO=90°，OA=OB，
在△AEO和△BDO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠BDO}\\{∠AOE=∠BOD}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△BDO（AAS），
∴OE=OD=2，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠CFB=90°，即CF⊥BF，
∴OD∥CF，
∵O為BC的中點(diǎn)，
∴OD為△BFC的中位線，
∴CF=2OD=4；
（2）直線AG與⊙O相切，理由如下：
連接AB，如圖所示：
∵OA=OB，OE=OD，
∴△OAB與△ODE為等腰三角形，
∵∠AOB=∠DOE，
∴∠ADG=∠OED=∠BAD=∠ABO，
∵∠GDF+∠ADG=90°=∠BAD+∠ABD，
∴∠GDF=∠ABD，
∵OD為△BFC的中位線，
∴BD=DF，
在△ABD和△GDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠GDF}\\{BD=DF}\\{∠ADB=∠GFD=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△GDF（ASA），
∴AD=GF，
∵AD⊥BF，GF⊥BF，
∴AD∥GF，
∴四邊形ADFG為矩形，
∴AG⊥OA，
∴直線AG與⊙O相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定、圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．