【題目】已知如圖,拋物線(xiàn)y=ax2+3ax+c(a>0)與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),C(0,-3)

(1) 求拋物線(xiàn)的解析式

(2) 若點(diǎn)D是線(xiàn)段AC下方拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),求四邊形ABCD面積的最大值.

(3) 若點(diǎn)Ex軸上,點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上,是否存在以A、C、E、P為頂點(diǎn)且以AC為一邊的平行四邊形?若存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1);(2)SACD的最大值為;(3)見(jiàn)解析.

【解析】

1)將B、C的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)中,求出待定系數(shù)的值,即可得出拋物線(xiàn)的解析式.

(2)根據(jù)A、C的坐標(biāo),易求得直線(xiàn)AC的解析式.由于AB、OC都是定值,則ABC的面積不變,若四邊形ABCD面積最大,則ADC的面積最大;過(guò)點(diǎn)DDEy軸交ACE,則E(m,﹣m﹣3),可得到當(dāng)ADC面積有最大值時(shí),四邊形ABCD的面積最大值,然后列出四邊形的面積與m的函數(shù)關(guān)系式,利用配方法可求得此時(shí)m的取值范圍;

(3)本題應(yīng)分情況討論:①過(guò)Cx軸的平行線(xiàn),與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)符合P點(diǎn)的要求,此時(shí)P、C的縱坐標(biāo)相同,代入拋物線(xiàn)的解析式中即可求出P點(diǎn)坐標(biāo);②將AC平移,令C點(diǎn)落在x軸(即E點(diǎn))、A點(diǎn)落在拋物線(xiàn)(即P點(diǎn))上;可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì),得出P點(diǎn)縱坐標(biāo)(P、C縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等),代入拋物線(xiàn)的解析式中即可求得P點(diǎn)坐標(biāo).

解:(1)將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式得:,

解得:a=,c=﹣3.

∴拋物線(xiàn)的解析式為y=x2+x﹣3

(2)令y=0,則x2+x﹣3=0,解得x1=1,x2=﹣4

A(﹣4,0)、B(1,0)

x=0,則y=﹣3

C(0,﹣3)

SABC=×5×3=

設(shè)D(m,m2+m﹣3)

過(guò)點(diǎn)DDEy軸交ACE.直線(xiàn)AC的解析式為y=﹣x﹣3,則E(m,﹣m﹣3)

DE=﹣m﹣3﹣(m2+m﹣3)=﹣(m+2)2+3

當(dāng)m=﹣2時(shí),DE有最大值為3

此時(shí),SACD有最大值為×DE×4=2DE=6

∴四邊形ABCD的面積的最大值為6+=

(3)如圖所示:

①過(guò)點(diǎn)CCP1x軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P1,過(guò)點(diǎn)P1P1E1ACx軸于點(diǎn)E1,此時(shí)四邊形ACP1E1為平行四邊形,

C(0,﹣3)

∴設(shè)P1(x,﹣3)

x2+x﹣3=﹣3

解得x1=0,x2=﹣3

P1(﹣3,﹣3);

②平移直線(xiàn)ACx軸于點(diǎn)E,交x軸上方的拋物線(xiàn)于點(diǎn)P,當(dāng)AC=PE時(shí),四邊形ACEP為平行四邊形,

C(0,﹣3)

∴設(shè)P(x,3),

x2+x﹣3=3,

解得x=x=

P2,3)或P3,3)

綜上所述存在3個(gè)點(diǎn)符合題意,坐標(biāo)分別是P1(﹣3,﹣3)或P2,3)或P3,3).

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直接填出兩點(diǎn)的坐標(biāo):________,________

過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)截,使截得的三角形與相似,若當(dāng)在某一位置時(shí),滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)共有條,的取值范圍是________

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,

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