Question

如圖所示，拋物線y=ax²+c（a＞0）經(jīng)過(guò)梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)，梯形的底AD在x軸上，其中A（-2，0），B（-1，-3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)M為y軸上任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M到A，B兩點(diǎn)的距離之和為最小時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）在第（2）問(wèn)的結(jié)論下，拋物線上的點(diǎn)P使S_△PAD=4S_△ABM成立，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出待定系數(shù)的值；
（2）由于A、D關(guān)于拋物線對(duì)稱軸即y軸對(duì)稱，那么連接BD，BD與y軸的交點(diǎn)即為所求的M點(diǎn)，可先求出直線BD的解析式，即可得到M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)直線BC與y軸的交點(diǎn)為N，那么△ABM的面積即為梯形ABNO、△BMN、△AOM的面積差，由此可求出△ABM和△PAD的面積；在△PAD中，AD的長(zhǎng)為定值，可根據(jù)其面積求出P點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，然后代入拋物線的解析式中即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）由題意可得：，
解得；
∴拋物線的解析式為：y=x²-4；

（2）由于A、D關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸（即y軸）對(duì)稱，連接BD．
則BD與y軸的交點(diǎn)即為M點(diǎn)；
設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b（k≠0），則有：
，
解得；
∴直線BD的解析式為y=x-2，點(diǎn)M（0，-2）；

（3）設(shè)BC與y軸的交點(diǎn)為N，則有N（0，-3）；
∴MN=1，BN=1，ON=3；
S_△ABM=S_梯形AONB-S_△BMN-S_△AOM=（1+2）×3-×2×2-×1×1=2；
∴S_△PAD=4S_△ABM=8；
由于S_△PAD=AD•|y_P|=8，
即|y_P|=4；
當(dāng)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為4時(shí)，x²-4=4，
解得x=±2，
∴P₁（-2，4），P₂（2，4）；
當(dāng)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為-4時(shí)，x²-4=-4，
解得x=0，
∴P₃（0，-4）；
故存在符合條件的P點(diǎn)，且P點(diǎn)坐標(biāo)為：P₁（-2，4），P₂（2，4），P₃（0，-4）．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)及圖形面積的求法，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用能力；當(dāng)所求圖形不規(guī)則時(shí)，一般要將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)換為幾個(gè)規(guī)則圖形面積的和差來(lái)求．