Question

如圖，過△ABC頂點B，C分別作AB、AC的垂線BD、CD交于D，過C作CE⊥AD于E，求證：△ACE∽△ABC．

Answer 1

考點：相似三角形的判定

專題：證明題

分析：由條件可分別證得△AFE∽△ABD，△AFC∽△ACD，可得AE•AB=AF•AD、AF•AD=AC•AC，可得到即

AE

AC

=

AC

AB

，且∠CAE=∠BAC，可證得△ACE∽△ABC．

解答：證明：
因為∠AFE=∠ABD=90°，且∠EAF=∠DAB，
所以△AFE∽△ABD，
則

AE

AD

=

AF

AB

，
即AE•AB=AF•AD①，
同理由∠AFC=∠ACD=90°，且∠CAF=∠DAC，
所以△AFC∽△ACD，
則

AF

AC

=

AC

AD

，
即AF•AD=AC•AC②，
由①②兩式易知：
AE•AB=AC•AC，
即

AE

AC

=

AC

AB

，又∠CAE=∠BAC，
所以△ACE∽△ABC．

點評：本題主要考查三角形相似的判定和性質(zhì)，利用條件證明三角形相似，再由相似三角形的性質(zhì)得到

AE

AC

=

AC

AB

是解題的關(guān)鍵．