Question

如圖，已知在矩形ABCD中，AB = a，BC = b，點E是線段AD邊上的任意一點（不含端點A、D），連結BE、CE．

（1）若a = 5，sin∠ACB =，求的長。（3分）

（2）若a = 5，b=10當BE⊥AC時，求出此時AE的長．（4分）

（3）設，試探索點E在線段AD上運動過程中，使得△ABE與△BCE相似時，求a、b應滿足什么條件，并求出此時x的值．（5分）                                                  

             

    

Answer 1

解：（1）① b = 12 ……………………………3分

（2）如圖1，∵BE⊥AC

  ∴∠2 + ∠3 = 90⁰

      又∠1 + ∠3 = 90⁰

∴∠1 = ∠2

又∠BAE = ∠ABC = 90⁰

　∴△AEB ∽△BAC  ………………………5分

　　　∴　即　

∴ ………………………………7分

（3）∵點E在線段AD上的任一點，且不與A、D重合，

∴當△ABE與△BCE相似時，則∠BEC = 90⁰

       所以當△BAE ∽△CEB（如圖2）

則∠1 = ∠BCE，

   又BC∥AD

      ∴∠2 = ∠BCE

      ∴∠1 = ∠2

      又∠BAE = ∠EDC = 90⁰

      ∴△BAE ∽△EDC 

         ∴  即　

         ∴  …………………………………9分

         即

         當

∵a＞0，b＞0，  ∴

即 時， ……………………11分

      綜上所述：當a、b滿足條件b = 2a時△BAE ∽△CEB，此時 (或x = a)；

         當a、b滿足條件b＞2a時△BAE ∽△CEB，此時