【題目】如圖,正方形ABCD中,AB3,點E為對角線AC上一點,EFDEABF,若四邊形AFED的面積為4,則四邊形AFED的周長為______

【答案】4+2

【解析】

連接BE,DF,過EENBF于點N,證明△DCE≌△BCE和△BEF為等腰三角形,設(shè)AF=x,用x表示DEEF,由根據(jù)四邊形ADEF的面積為4,列出x的方程求得x,進而求得四邊形ADEF的周長.

解:如圖,連接BE,DF,過EENBF于點N,

∵四邊形ABCD為正方形,
CB=CD,∠BCE=DCE=45°,
在△BEC和△DEC中,

,

∴△DCE≌△BCESAS),
DE=BE,∠CDE=CBE
∴∠ADE=ABE,
∵∠DAB=90°,∠DEF=90°,
∴∠ADE+AFE=180°,
∵∠AFE+EFB=180°,
∴∠ADE=EFB
∴∠ABE=EFB,
EF=BE
DE=EF,
設(shè)AF=x,則BF=3-x,
FN=BN=BF=,

AN=AF+FN=

∵∠BAC=DAC=45°,∠ANF=90°,
EN=AN=

DE=EF=,

∵四邊形AFED的面積為4
SADF+SDEF=4,

×3x+×,

解得,x=-7(舍去),或x=1,
AF=1,DE=EF=

∴四邊形AFED的周長為:3+1++=4+,

故答案為:4+.

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