Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸為，與x軸的交點(diǎn)A（﹣1，0）與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣2）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2．點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC的平行線交拋物線于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q在點(diǎn)P右側(cè)），連結(jié)BQ，當(dāng)△PCQ的面積為△BCQ面積的一半時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）現(xiàn)將該拋物線沿射線AC的方向進(jìn)行平移，平移后的拋物線與直線AC的交點(diǎn)為A'、C'（點(diǎn)C'在點(diǎn)A'的下方），與x軸的交點(diǎn)為B'，當(dāng)△AB'C'與△AA'B'相似時(shí)，求出點(diǎn)A′的橫坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）點(diǎn)P（1，﹣3）；（3）點(diǎn)A′的橫坐標(biāo)為．

【解析】

（1）由對(duì)稱性可知B（4，0），設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣4），由待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；

（2）由平行線間距離處處相等可知，當(dāng)△PCQ的面積為△BCQ面積的一半時(shí)，可求相關(guān)線段的長(zhǎng)，再求得BC的解析式，將其與拋物線解析式聯(lián)立可解；

（3）由平移的相關(guān)知識(shí)，結(jié)合圖形分析，得出方程組，從而得解．

解：（1）由對(duì)稱性可知B（4，0）

設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣4）

將（0，﹣2）代入得a＝

∴y＝x2﹣x﹣2．

（2）由平行線間距離處處相等可知，當(dāng)△PCQ的面積為△BCQ面積的一半時(shí)，PQ＝BC

∵C（0，﹣2），B（4，0）

∴BC＝

∴PQ＝

∴PQ2＝＝5

∵直線BC的解析式為y＝x﹣2，PQ∥BC

∴設(shè)直線PQ的解析式為y＝x+b

則yP＝xP+b，yQ＝y＝xQ+b

聯(lián)立 得

x2﹣4x﹣4﹣2b＝0

則xP+xQ＝4

∵PQ2＝＝5

∴＝5，xQ﹣xP＝2

∴點(diǎn)P（1，﹣3）

（3）由點(diǎn)A（﹣1，0），C（0，﹣2）得直線AC的解析式為y＝﹣2x﹣2

設(shè)點(diǎn)A'坐標(biāo)為（a，﹣2a﹣2），由平移的性質(zhì)，可知AC＝A'C'＝

平移距離為AA'＝（a+1）

∴AC'（a+2）

當(dāng)△AB'C'與△AA'B'相似時(shí)，只有當(dāng)△AB'C'∽△AA'B'

∴AB'2＝AA'×AC'＝5（a+1）（a+2）

過點(diǎn)B'作AA'的平行線，交原拋物線于點(diǎn)D，連接AD，

由平移知四邊形ADB'A'為平行四邊形，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為2a+2

設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)B'坐標(biāo)為（m+a+1，0）

∴AB'2＝（m+a+2）2＝5（a+1）（a+2），①

將點(diǎn)D（m，2a+2）代入y＝ x2﹣x﹣2得

﹣﹣2＝2a+2，②

聯(lián)立①②，解得：a＝ ，

m2﹣9m+15＝0，

∴m＝ ，或m＝（舍）

∴a═＝

∴點(diǎn)A′的橫坐標(biāo)為 ．