Question

如圖14-1，在銳角△ABC中，AB = 5，AC =，∠ACB = 45°．
計(jì)算：求BC的長(zhǎng)；
操作：將圖14-1中的△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn),得到△A₁BC₁．如圖14-2,當(dāng)點(diǎn)C₁在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)．
（1）證明：A₁C₁⊥CC₁；
（2）求四邊形A₁BCC₁的面積；

探究：
將圖14-1中的△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn),得到△A₁BC₁．連結(jié)AA₁,CC₁，如圖14-3．若△ABA₁的面積為5,求點(diǎn)C到BC₁的距離；
拓展：
將圖14-1中的△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn),得到△A₁BC₁．點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn),點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn),在△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)過(guò)程中,點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P₁,如圖14-4．
（1）若點(diǎn)P是線段AC的中點(diǎn)，求線段EP₁長(zhǎng)度的最大值與最小值；
（2）若點(diǎn)P是線段AC上的任一點(diǎn),直接寫出線段EP₁長(zhǎng)度的最大值與最小值．

Answer 1

(1)7.(2)證明見(jiàn)解析；；（3）；（4）+，-；，-．

試題分析：過(guò)點(diǎn)A做AG⊥BC于G，通過(guò)解直角三角形得BG和CG的長(zhǎng)，從而可求出BC的長(zhǎng)；
由旋轉(zhuǎn)易證∠CC₁A₁ =∠CC₁B+∠A₁C₁B =45°＋45°=90°，故A₁C₁⊥CC₁；四邊形A₁BCC₁的面積=△CC₁B的面積+△A₁C₁B的面積=；由△∽△C₁BC易求點(diǎn)C到BC₁的距離為.
計(jì)算：
解：過(guò)點(diǎn)A做AG⊥BC于G，

∵∠ACB = 45°
∴∠GAC = 45°
∴AG=CG
∴在Rt△AGC中， AG="CG" ==4
∴在Rt△ABG中，由勾股定理得，BG=3
∴BC=BG+CG=4+3=7．
操作：
（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠A₁C₁B =∠ACB =45°，BC=BC₁ 
∴∠CC₁B =∠C₁CB =45° 
∴∠CC₁A₁ =∠CC₁B+∠A₁C₁B =45°＋45°=90°
∴A₁C₁⊥CC₁ 
（2）四邊形A₁BCC₁的面積=△C C₁B的面積+ △A₁C₁B的面積=×7×7+×7×4=．
探究：
解：設(shè)△中A₁B邊為的高為m；△C₁CB中BC₁邊為的高為n．
∵×5m=5
∴m=2
∵∠ABC=∠A₁B C₁
∴∠ C₁BC=∠A₁BA
∵
∴△∽△C₁BC
∴==
∴n=
∴點(diǎn)C到BC₁的距離.
拓展：
（1）過(guò)點(diǎn)P做PH⊥BC，得到：PH=CH=2，

∴BH=BC－CH=7－2=5．
在Rt△BHP中，根據(jù)勾股定理得：BP==．
①△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P₁在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，
EP₁最小，最小值為B P₁－BE=BP－BE=－；
②△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P₁在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí),
EP₁最大，最大值為BP₁+ BE =BP+ BE =+．
（2）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，D為垂足,

∵△ABC為銳角三角形
∴點(diǎn)D在線段AC上
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=．
①當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至垂足點(diǎn)D，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，
點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P₁在線段AB上時(shí)，
EP₁最小，最小值為-
②當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，
點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P₁在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，
EP₁最大，最大值為+7= ．