Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為矩形，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE交CD于點(diǎn)G，F(xiàn)是AE上一點(diǎn)，并且AC=CF=EF，∠AEB=15°．
（1）求∠ACF的度數(shù)；
（2）證明：矩形ABCD為正方形．

Answer 1

【答案】解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，∠D=90°，
∴∠DAG=∠AEB=15°，
∵CF=EF，
∴∠FCE=∠AEB=15°，
∴∠AFC=∠FCE+∠AEB=30°，
∵AC=CF，
∴∠FAC=∠AFC=30°，
∴∠ACF=18O°﹣∠FAC﹣∠AFC=120°；
（2）由（1）知∠DAG=15°，∠FAC=30°，
∴∠DAC=∠DAG+∠FAC=45°，
∵∠D=90°，
∴∠ACD=∠DAC=45°，
∴AD=CD，
∴矩形ABCD為正方形．
【解析】（1）利用矩形的性質(zhì)可得∠DAG=∠AEB=15°，利用外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得∠AFC與∠CAF的度數(shù)，可得∠ACF；
（2）由∠DAG=15°，∠FAC=30°，易得∠DAC=45°，可得∠ACD=∠DAC=45°，由等腰三角形的判定可得AD=CD，由正方形的判定定理證得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用正方形的性質(zhì)，掌握正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形即可以解答此題．