Question

如圖，P為⊙O的直徑AB上一點(diǎn)，M、N在半圓

AB

上，且∠APM=∠NPB，若OP=2cm，AB=10cm，∠NPB=30°，求PN+PM的值．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,含30度角的直角三角形,勾股定理

專題：計(jì)算題

分析：延長NP交⊙O于Q，作OH⊥NQ于H，連結(jié)MQ，ON，如圖，由∠APM=∠NPB，∠APQ=∠NPB得到∠APM=∠APQ，利用圓的對(duì)稱性得到點(diǎn)M與點(diǎn)Q關(guān)于AB對(duì)稱，則PM=PQ，所以PN+PM=PQ+PN=NQ，在Rt△OPH中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OH=1，則在Rt△OHN中可勾股定理計(jì)算出NH=2

6

，然后根據(jù)垂徑定理得到NH=QH，NQ=2NH=4

6

，即可得到PN+PM的值．

解答：解：延長NP交⊙O于Q，作OH⊥NQ于H，連結(jié)MQ，ON，如圖，
∵∠APM=∠NPB，
而∠APQ=∠NPB，
∴∠APM=∠APQ，
∴點(diǎn)M與點(diǎn)Q關(guān)于AB對(duì)稱，
∴PM=PQ，
∴PN+PM=PQ+PN=NQ，
在Rt△OPH中，∵OP=2，∠OPH=30°，
∴OH=1，
在Rt△OHN中，∵OH=1，ON=5，
∴NH=

ON2-OH2

=2

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，
∵OH⊥NQ，
∴NH=QN，
∴NQ=2NH=4

6

，
∴PN+PM的值為4

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．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和勾股定理．