Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為菱形，且點(diǎn)D(﹣4，0)在x軸上，點(diǎn)B和點(diǎn)C(0，3)在y軸上，反比例函數(shù)y＝(k≠0)過點(diǎn)A，點(diǎn)E(﹣2，m)、點(diǎn)F分別是反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，其中點(diǎn)F在第一象限，連結(jié)OE、OF，以線段OE、OF為鄰邊作平行四邊形OEGF．

(1)寫出反比例函數(shù)的解析式；

(2)當(dāng)點(diǎn)A、O、F在同一直線上時(shí)，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；

(3)四邊形OEGF周長是否有最小值？若存在，求出這個(gè)最值，并確定此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2，﹣5)；(3)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2，2)時(shí)，四邊形OEGF周長最小，最小值為：4+4．

【解析】

（1）首先根據(jù)D點(diǎn)坐標(biāo)，寫出A點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再計(jì)算CD的長，根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得A點(diǎn)的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)，即可求得k的值，進(jìn)而求得反比例函數(shù)的解析式.

（2）首先將E點(diǎn)代入反比例函數(shù)，計(jì)算m,根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱性，可得F點(diǎn)的坐標(biāo)，再證明△ENO≌△FMG，故求得G點(diǎn)坐標(biāo).

（3）設(shè)出F點(diǎn)的坐標(biāo)，利用勾股定理列方程，利用二次函數(shù)求解.

解：(1)∵點(diǎn)D(﹣4，0)在x軸上，

∴A點(diǎn)橫坐標(biāo)為：﹣4，

∵點(diǎn)C(0，3)在y軸上，

∴DC＝5，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AD＝5，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣4，﹣5)，

則解析式為：；

(2)如圖，∵x＝﹣2時(shí)，y＝＝﹣10，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣2，﹣10)，

∵點(diǎn)A、O、F在同一直線上，

∴A，F關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)(4，5)，

分別過點(diǎn)E、F作EN⊥x軸于點(diǎn)N，FM⊥GM于點(diǎn)M，FM也垂直于x軸，

∵四邊形OEGF是平行四邊形，

∴EO∥FG，

∴∠NOE＝∠3，

∵∠2＝∠3＝∠1，

∴∠1＝∠NOE，

在△ENO和△FMG中

，

∴△ENO≌△FMG(AAS)，

設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(m，n)，則5﹣n＝10，m﹣4＝﹣2，

故n＝﹣5，m＝2，

則點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2，﹣5)；

(3)由于OE為定值，則只需求出OF的最小值即可，

設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(a，)，

根據(jù)勾股定理得， ，

顯然當(dāng)a=時(shí)，OF2最小，即a＝2時(shí)，OF最小，OF＝2，

EO＝2，

因此，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2，2)時(shí)，四邊形OEGF周長最小，

最小值為：4+4．