Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75°，以CD為一邊的等邊三角形的另一頂點E在腰AB上，點F在線段CD上，∠FBC=30°，連接AF．下列結論：①AE=AD；  ②AB=BC；③∠DAF=30°；④；⑤點F是線段CD的中點．
其中正確的結論的個數是（ ）

A．5個
B．4個
C．3個
D．2個

Answer 1

【答案】分析：①根據直角梯形ABCD，得到∠DCB+∠ADC=180°，∠BAD=∠B=90°，求出∠ADC=105°，根據等邊三角形的性質得出∠EDC=∠DCE=60°，求出∠EDA=45°即可得出AE=AD，
②連接AC，由∠EDA=∠ADE=45°，得到AE=AD，根據等邊三角形，得到CE=CD證△DCA≌△DCA，推出∠ECA=∠DCA=30°，求出∠CAB=45°，推出∠CAB=∠ACB即可得出AB=BC；
③連接AF，BF、AD的延長線相交于點G．根據三角形的內角和定理以及②的結論發(fā)現等邊三角形ABF，從而求解．
④利用三角形面積公式，求出三角形的高進而得出面積比．
⑤由△BCF≌△GDF．得出DF=CF，即點F是線段CD的中點．
解答：解：∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DCB+∠ADC=180°，∠BAD=∠B=90°，
∵∠DCB=75°，
∴∠ADC=105°，
∵△DCE是等邊三角形，
∴∠EDC=∠DCE=60°，
∴∠EDA=45°，
∴∠AED=45°，
∴AE=AD，
故：①AE=AD此選項正確；

證明：連接AC，
∵∠AED=∠ADE=45°，
∴AE=AD
∵△DCE是等邊三角形，
∴CE=CD
∵AC=AC，
∴△DCA≌△ECA，
∴∠ECA=∠DCA=30°，
∵∠DCB=75°，
∴∠ACB=45°
∵∠B=90°，
∴∠CAB=45°，
∴∠CAB=∠ACB，
∴AB=BC；
故②AB=BC選項正確；

解：∵∠FBC=30°，∴∠ABF=60°．
連接AF，BF、AD的延長線相交于點G，
∵∠FBC=30°，∠DCB=75°，
∴∠BFC=75°，故BC=BF．
由②知：BA=BC，故BA=BF，
∵∠ABF=60°，
∴AB=BF=FA，
又∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠FAG=∠G=30°．
∴③∠DAF=30°此選項正確；
∴FG=FA=FB．
∵∠G=∠FBC=30°，∠DFG=∠CFB，FB=FG，
∴△BCF≌△GDF．
∴DF=CF，即點F是線段CD的中點．
故⑤點F是線段CD的中點此選項正確；
連接AC，交ED與點H，
由以上分析可以易證AC⊥DE，
S_△AED：S_△CED=DE•AH：DE•CH=AH：CH，
∵AE=AD，∠AED=45°，
∴AH=DE，
∵△EDC為等邊三角形，
∴CH=DE，
∴
∴④選項正確；
故正確的有：5個，
故選：A．
點評：此題主要是考查了等腰直角三角形的性質和判定、等邊三角形的性質和判定、全等三角形的性質和判定，熟練利用等邊三角形的性質與判定得出是解題關鍵．