Question

4．如圖，矩形ABCD的邊AB=3，AD=4，點E從點A出發(fā)，沿射線AD移動，以CE為直徑作圓O，點F為圓O與射線BD的公共點，連結(jié)EF、CF，過點E作EG⊥EF，EG與圓O相交于點G，連結(jié)CG．
（1）求證：四邊形EFCG是矩形；
（2）求tan∠CEG的值；
（3）當(dāng)圓O與射線BD相切時，點E停止移動，在點E移動的過程中，求四邊形EFCG面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三個角是直角的四邊形是矩形即可判斷．
（2）只要證明∠CEG=∠ADB即可解決問題．
（3）首先證明S_矩形EFCG=$\frac{3C{F}^{2}}{4}$，想辦法求出CF的范圍即可解決問題，只要求出CF的最大值以及最小值．

解答 解：（1）證明：∵CE為⊙O的直徑，
∴∠CFE=∠CGE=90°，
∵EG⊥EF，
∴∠FEG=90°，
∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°，
∴四邊形EFCG是矩形．
（2）由（1）知四邊形EFCG是矩形．
∴CF∥EG，
∴∠CEG=∠ECF，
∵∠ECF=∠EDF，
∴∠CEG=∠EDF，
在Rt△ABD中，AB=3，AD=4，
∴tan$∠BDA=\frac{AB}{AD}=\frac{3}{4}$，
∴tan∠CEG=$\frac{3}{4}$；
（3）∵四邊形EFCG是矩形，
∴FC∥EG．
∴∠FCE=∠CEG，
∴tan∠FCE=tan∠CEG=$\frac{3}{4}$，
∵∠CFE=90°，
∴EF=$\frac{3}{4}$CF，
∴S_矩形EFCG=$\frac{3C{F}^{2}}{4}$；
連結(jié)OD，如圖2①，

∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE，
∴∠GDC=∠FDE．
∵∠FDE+∠CDB=90°，
∴∠GDC+∠CDB=90°，
∴∠GDB=90°．
（Ⅰ）當(dāng)點E在點A（E′）處時，點F在點B（F′）處，點G在點D（G′）處，如圖2①所示．
此時，CF=CB=4．…（10分）
（Ⅱ）當(dāng)點F在點D（F″）處時，直徑F″G″⊥BD，
如圖2②所示，

此時⊙O與射線BD相切，CF=CD=3．
（Ⅲ）當(dāng)CF⊥BD時，CF最小，
如圖2③所示．

S_△BCD=$\frac{1}{2}$BC×CD=$\frac{1}{2}$BD×CF，
∴4×3=5×CF，
∴CF=$\frac{12}{5}$，
∴$\frac{12}{5}$≤CF≤4，
∵S_矩形EFCG=$\frac{{3C{F^2}}}{4}$，
∴$\frac{3}{4}$×（$\frac{12}{5}$）²≤S_矩形EFCG≤$\frac{3}{4}$×4²，
∴$\frac{108}{25}$≤S_矩形EFCG≤12．

點評 本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想，學(xué)會取特殊點特殊位置探究問題，屬于中考壓軸題．