Question

已知，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，∠CAB=30°，∠DAE=60°，AD=3，AB=6

3

，且AB，AD在同一直線上，把圖1中的△ADE沿射線AB平移，記平移中的△ADE為△A′DE（如圖2），且當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)平移的距離為x．
（1）當(dāng)頂點(diǎn)E恰好移動到邊AC上時(shí)，求此時(shí)對應(yīng)的x值；
（2）在平移過程中，設(shè)△A′DE與Rt△ABC重疊部分的面積為S，請直接寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式以及相應(yīng)的自變量x的取值范圍；
（3）過點(diǎn)C作CF∥AE交AB的延長線于點(diǎn)F，點(diǎn)M為直線BC上一動點(diǎn)，連接FM，得到△MCF，將△MCF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△M′CF′（M的對應(yīng)點(diǎn)為M′，F(xiàn)的對應(yīng)點(diǎn)為F′），問△FMM′的面積能否等于

3

？若能，請求AM′的長度，若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）和（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角形面積的求解方法，求出重疊面積S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)題意，利用三角形的面積求解方法分三種情況討論，列方程式解方程可求解出AM′的長度．

解答：解：（1）∵頂點(diǎn)E恰好移動到邊AC上時(shí)，
∴x=3

3

×

3

+3=12

（2）當(dāng)0≤x≤3時(shí)，S=

3

8

x2；
當(dāng)3＜x≤6

3

時(shí)，S=-

3

24

x2+

3

x-

3

2

3

；
當(dāng)6

3

＜x≤12時(shí)，S=-

13 3

24

x2+(18+

3

)x-

111 3

2

；
當(dāng)12＜x≤6

3

+3時(shí)，S=-

3

2

x2+18x-

99 3

2

．

（3）
如圖①所示：設(shè)CM=CM′=x，A   E  D
則S△FMM′=S△FCM′-S△FCM-S△MCM′
=

1

2

x•4

3

-

1

2

x•2

3

-

3

4

x2=

3

將其化簡得：x²-4x+4=0
∴x=2
∴AM′=12-2=10
如圖②所示：設(shè)CM=CM′=x，
則S△FMM′=S△FCM+S△MCM′-S△FCM′
=

1

2

x•2

3

+

3

4

x2-

1

2

x•4

3

=

3

將其化簡得：x²-4x-4=0
∴x=2±2

2

（舍負(fù)）
∴x=2+2

2

∴AM′=12-(2+2

2

)=10-2

2

如圖③所示：設(shè)CM=CM′=x，
S△FMM′=S△MCM′+S△FCM′-S△FCM
=

3

4

x2+

1

2

x•4

3

-

1

2

x•2

3

=

3

將其化簡得：x²+4x-4=0
∴x=-2±2

2

（舍負(fù)）
∴x=-2+2

2

∴AM′=12+(-2+2

2

)=10+2

2

∴AM′的值為10或10-2

2

或 10+2

2

．

點(diǎn)評：此題主要考查了直角三角形判定與性質(zhì)三角形面積求法等知識，利用平移性質(zhì)得出對應(yīng)邊之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．