Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和B（l，0），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

（2）作射線(xiàn)AC，將射線(xiàn)AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)D，在射線(xiàn)AD上是否存在一點(diǎn)H，使△CHB的周長(zhǎng)最�。�若存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)Q為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，點(diǎn)P為射線(xiàn)AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)l，垂足為E，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AD方向運(yùn)動(dòng)，直線(xiàn)l隨之運(yùn)動(dòng)，當(dāng)﹣2＜t＜1時(shí)，直線(xiàn)l將四邊形ABCQ分割成左右兩部分，設(shè)在直線(xiàn)l左側(cè)部分的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2；（2）點(diǎn)H坐標(biāo)為（﹣，﹣）；（3）．

【解析】

（1）根據(jù)A，B坐標(biāo)寫(xiě)出交點(diǎn)式，可得函數(shù)解析式；

（2）如圖1，延長(zhǎng)CA到C'，使AC'＝AC，連接BC'，BC'與AD的交點(diǎn)即為滿(mǎn)足條件的點(diǎn)H，分別求出AC與AD的解析式和點(diǎn)C坐標(biāo)，再求出BC'解析式，聯(lián)立AD與BC'的解析式，可得點(diǎn)H；

（3）存在3種情況，一種是點(diǎn)P在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，一種是在右側(cè)且在x軸負(fù)半軸，還有一種是在x軸正半軸，然后再根據(jù)幾何圖形特點(diǎn)求解.

（1）拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和B（l，0）

∴交點(diǎn)式為y＝﹣（x+2）（x﹣1）＝﹣（x2+x﹣2）

∴拋物線(xiàn)的表示式為y＝﹣x2﹣x+2

（2）在射線(xiàn)AD上存在一點(diǎn)H，使△CHB的周長(zhǎng)最�。�

如圖1，延長(zhǎng)CA到C'，使AC'＝AC，連接BC'，BC'與AD交點(diǎn)即為滿(mǎn)足條件的點(diǎn)H

∵x＝0時(shí)，y＝﹣x2﹣x+2＝2

∴C（0，2）

∴OA＝OC＝2

∴∠CAO＝45°，直線(xiàn)AC解析式為y＝x+2

∵射線(xiàn)AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得射線(xiàn)AD

∴∠CAD＝90°

∴∠OAD＝∠CAD﹣∠CAO＝45°

∴直線(xiàn)AD解析式為y＝﹣x﹣2

∵AC'＝AC，

∴C'（﹣4，﹣2），

設(shè)直線(xiàn)BC'解析式為y＝kx+a

∴

解得：

∴直線(xiàn)BC'：y＝x﹣

∵，解得：，

∴點(diǎn)H坐標(biāo)為（﹣，﹣）；

（3）∵y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+）2+

∴拋物線(xiàn)頂點(diǎn)Q（﹣，）

①當(dāng)﹣2＜t≤﹣時(shí)，如圖2，直線(xiàn)l與線(xiàn)段AQ相交于點(diǎn)F

設(shè)直線(xiàn)AQ解析式為y＝mx+n

∴，解得：

∴直線(xiàn)AQ：y＝x+3

∵點(diǎn)P橫坐標(biāo)為t，PF⊥x軸于點(diǎn)E

∴F（t，t+3）

∴AE＝t﹣（﹣2）＝t+2，FE＝t+3，

∴S＝S△AEF＝AEEF＝（t+2）（t+3）＝t2+3t+3；

②當(dāng)﹣＜t≤0時(shí)，如圖3，直線(xiàn)l與線(xiàn)段QC相交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥x軸于M

∴AM＝﹣﹣（﹣2）＝，QM＝

∴S△AQM＝AMQM＝

設(shè)直線(xiàn)CQ解析式為y＝qx+2

把點(diǎn)Q代入：﹣q+2＝，解得：q＝﹣

∴直線(xiàn)CQ：y＝﹣x+2

∴G（t，﹣t+2）

∴EM＝t﹣（﹣）＝t+，GE＝﹣t+2

∴S梯形MEGQ＝（QM+GE）ME＝（﹣t+2）（t+）＝﹣t2+2t+

∴S＝S△AQM+S梯形MEGQ＝+（﹣t2+2t+）＝﹣t2+2t+；

③當(dāng)0＜t＜1時(shí)，如圖4，直線(xiàn)l與線(xiàn)段BC相交于點(diǎn)N

設(shè)直線(xiàn)BC解析式為y＝rx+2

把點(diǎn)B代入：r+2＝0，解得：r＝﹣2

∴直線(xiàn)BC：y＝﹣2x+2

∴N（t，﹣2t+2）

∴BE＝1﹣t，NE＝﹣2t+2

∴S△BEN＝BENE＝（1﹣t）（﹣2t+2）＝t2﹣2t+1

∵S梯形MOCQ＝（QM+CO）OM＝×（+2）×＝，S△BOC＝BOCO＝×1×2＝1

∴S＝S△AQM+S梯形MOCQ+S△BOC﹣S△BEN＝++1﹣（t2﹣2t+1）＝－t2＋2t+；

綜上所述，S＝