Question

【題目】如圖1，拋物線C1：y＝ax2+k的頂點(diǎn)A（0，﹣2），且過點(diǎn)（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），直線AB交拋物線C1于另一點(diǎn)C．

（1）拋物線的解析式為　 　；

（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)：

（3）如圖2，將拋物線C1向下平移m（m＞0）個單位得到拋物線C，且拋物線C的頂點(diǎn)為P，交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)M，交射線BC于點(diǎn)N，NQ⊥x軸于點(diǎn)Q，當(dāng)NP平分∠MNQ時，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2；（2）C（4，6）；（3）2.

【解析】

（1）根據(jù)拋物線過點(diǎn)A求出k法人值，再根據(jù)線上的另一點(diǎn)（2，0）求出a，將求得的a與k代入，求得解析式

（2）先利用A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，以待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再利用方程組求得兩個函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)實際情況判斷出交點(diǎn)坐標(biāo)的正確取值范圍即可

（3）分別設(shè)出拋物線C2表達(dá)式為：y＝x2﹣2﹣m，點(diǎn)M坐標(biāo)為（n，0），則C2表達(dá)式

為：y＝x2﹣n2，結(jié)合（2）中求出的直線AB的表達(dá)式得出點(diǎn)N（2﹣n，2﹣2n），從而知道△MNQ為等腰直角三角形；再設(shè)直線MN與y軸的交點(diǎn)為H，并作NK⊥y軸于點(diǎn)K，進(jìn)一步得出NH＝HP，再建立方程求出n從而得出m的值

解：（1）拋物線C1：的頂點(diǎn)A（0，﹣2），則k＝﹣2，

則y＝ax2﹣2，將點(diǎn)（2，0）代入上式得：0＝a（2）2﹣2，

解得：a＝，

則拋物線的表達(dá)式：y＝x2﹣2…①，

故答案為：y＝x2﹣2；

（2）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入y＝kx+b得，解得：，

故直線AB的表達(dá)式為：y＝2x﹣2…②，

聯(lián)立①②并解得：x＝0或4（舍去0），

故點(diǎn)C（4，6）；

（3）設(shè)拋物線C2表達(dá)式為：y＝x2﹣2﹣m，設(shè)點(diǎn)M（n，0），

則n2﹣2﹣m＝0，拋物線C2表達(dá)式為：y＝x2﹣n2…③，

聯(lián)立②③并解得：x＝2﹣n或2+n，則點(diǎn)N（2﹣n，2﹣2n），

則NQ＝2﹣2n，MQ＝2﹣2n，

∴△MNQ為等腰直角三角形，則∠MNQ＝45°，

又點(diǎn)P（0，﹣n2），即點(diǎn)M（n，0），

設(shè)直線MN與y軸的交點(diǎn)為H，則OH＝OM，則點(diǎn)H（0，﹣n），

作NK⊥y軸于點(diǎn)K，在△NKH中，NK＝KH，

則NH＝（2﹣n），又HP＝OH+OP＝n2﹣n，

∵PN為角平分線，則∠MNP＝∠PNQ＝22.5°，

故NH＝HP，

則（2﹣n）＝n2﹣n，

解得：n＝2或﹣2（舍去2），

∵n2﹣2﹣m＝0，解得：m＝2．