Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)G是BC延長線上一點(diǎn)，連接AG，分別交BD、CD于點(diǎn)E、F，連接CE．
（1）求證：∠DAE=∠DCE；
（2）當(dāng)AE=2EF時，判斷FG與EF有何等量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=CD，∠ADE=∠CDB；

在△ADE和△CDE中，

∴△ADE≌△CDE，

∴∠DAE=∠DCE

（2）解：判斷FG=3EF．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠G，

由題意知：△ADE≌△CDE

∴∠DAE=∠DCE，

則∠DCE=∠G，

∵∠CEF=∠GEC，

∴△ECF∽△EGC，

∴ ，

∵△ADE≌△CDE，

∴AE=CE，

∵AE=2EF，

∴ = ，

∴EG=2AE=4EF，

∴FG=EG﹣EF=4EF﹣EF=3EF．

【解析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是菱形可得出△ADE≌△CDE就可證明；（2）根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似得到△CEF∽△GEC，可得EF：EC=CE：GE，又因?yàn)椤鰽BE≌△CBE AE=2EF，就能得出FG=3EF．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．