Question

如圖9，拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C（0，）.

（1）求拋物線的對(duì)稱軸及的值；

（2）拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得的值最小，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，且在第三象限.

①當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△AMB的面積最大？求出△AMB的最大面積及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AMCB的面積最大？求出四邊形AMCB的最大面積及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

 

Answer 1

解：（1）拋物線的對(duì)稱軸為：直線.…………(1分)

∵拋物線過點(diǎn)C（0，），則，

∴.…………(2分)

（2）如圖9，

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)P點(diǎn)在線段AC上就可使的值最小，

又因?yàn)镻點(diǎn)要在對(duì)稱軸上，所以P點(diǎn)應(yīng)為線段AC與對(duì)稱軸直線的交點(diǎn).

由（1）可知，拋物線的表達(dá)式為：.

令，則，解得：，.

則點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A（，0）、B（，0）.

設(shè)直線AC的表達(dá)式為，則

   解得：

所以直線AC的表達(dá)式為.…………(3分)

當(dāng)時(shí)， ，

所以，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）. ………… (4分)

（3）①依題意得：

當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，△AMB的面積最大.

由拋物線表達(dá)式可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）.

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）. …………(5分)

△AMB的最大面積. …………(6分)

②方法一：

如圖9，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)H，連結(jié)、、.

點(diǎn)M在拋物線上，且在第三象限，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），則

…………(7分)

.

當(dāng)時(shí)，四邊形AMCB的面積最大，最大面積為.………(8分)

當(dāng)時(shí)，.

∴四邊形AMCB的面積最大時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）. (9分)

方法二：

如圖9，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)H，交直線AC于點(diǎn)N，連結(jié)、、.

點(diǎn)M在拋物線上，且在第三象限，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），則

點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，），則.

則

…………(7分)

.

當(dāng)時(shí)，四邊形AMCB的面積最大，最大面積為.………(8分)

當(dāng)時(shí)，.

∴四邊形AMCB的面積最大時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）. (9分)

解析:略