Question

 

如圖9，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），拋物線上另有一點(diǎn)在第一象限，滿足∠為直角,且恰使△∽△.

(1)(3分)求線段的長.

(2)(3分)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式．

(3)(4分)在軸上是否存在點(diǎn)，使△為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

 

（1）２

（2）ｙ＝－ｘ＋ｘ－４

（3）（０，０），（６－２，０），（４，０），（６＋２，０）

【解析】（１）解：由ax－8ax+12a＝０（a＜0）得

　　　ｘ＝２，ｘ＝６

　　　即：ＯＡ＝２，ＯＢ＝６                    　……1分

　　　∵△OCA∽△OBC

　　　∴ＯＣ＝ＯＡ·ＯＢ＝２×６               　……2分

　　　∴ＯＣ＝２（－２舍去）

　　　∴線段ＯＣ的長為２                   　　……3分

（２）解：∵△OCA∽△OBC

　　　∴

設(shè)ＡＣ＝ｋ，則ＢＣ＝ｋ

由ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ得

ｋ＋（ｋ）＝（６－２）

解得ｋ＝２（－２舍去）

∴ＡＣ＝２，ＢＣ＝２＝ＯＣ               　 ……1分

 過點(diǎn)Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ于點(diǎn)Ｄ

∴ＯＤ＝ＯＢ＝３

∴ＣＤ＝

∴Ｃ的坐標(biāo)為（３，）                     　 ……2分

將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得

＝ａ（３－２）（３－６）

∴ａ＝－

∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：

ｙ＝－ｘ＋ｘ－４               　　　　　　　　 ……3分

（３）解：①當(dāng)Ｐ與Ｏ重合時(shí)，△ＢＣＰ為等腰三角形

∴Ｐ的坐標(biāo)為（０，０）          ……1分

②當(dāng)ＰＢ＝ＢＣ時(shí)(Ｐ在B點(diǎn)的左側(cè))，△ＢＣＰ為等腰三角形

∴Ｐ的坐標(biāo)為（６－２，０）  ……2分

③當(dāng)Ｐ為ＡＢ的中點(diǎn)時(shí)，ＰＢ＝ＰＣ，△ＢＣＰ為等腰三角形

∴Ｐ的坐標(biāo)為（４，０）                          ……3分

④當(dāng)ＢＰ＝ＢＣ時(shí)(Ｐ在B點(diǎn)的右側(cè))，△ＢＣＰ為等腰三角形

∴Ｐ的坐標(biāo)為（６＋２，０）                

∴在ｘ軸上存在點(diǎn)Ｐ，使△ＢＣＰ為等腰三角形，符合條件的點(diǎn)Ｐ的坐標(biāo)為：

（０，０），（６－２，０），（４，０），（６＋２，０）  ……4分