Question

【題目】兩個(gè)全等的等腰直角三角形按如圖方式放置在平面直角坐標(biāo)系中，OA在x軸上，已知∠COD=∠OAB=90°，OC=，反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．

（1）求k的值．

（2）把△OCD沿射線OB移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)D落在y=圖象上時(shí)，求點(diǎn)D經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）k=2；（2）點(diǎn)D經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．

【解析】

（1）根據(jù)題意求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再代入求得k值即可；（2）設(shè)平移后與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)為D′，由平移性質(zhì)可知DD′∥OB，過(guò)D′作D′E⊥x軸于點(diǎn)E，交DC于點(diǎn)F，設(shè)CD交y軸于點(diǎn)M（如圖），根據(jù)已知條件可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，1），設(shè)D′橫坐標(biāo)為t，則OE=MF=t，即可得D′（t，t+2），由此可得t（t+2）=2，解方程求得t值，利用勾股定理求得DD′的長(zhǎng)，即可得點(diǎn)D經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．

（1）∵△AOB和△COD為全等三的等腰直角三角形，OC=，

∴AB=OA=OC=OD=，

∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（），

代入得k=2；

（2）設(shè)平移后與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)為D′，

由平移性質(zhì)可知DD′∥OB，過(guò)D′作D′E⊥x軸于點(diǎn)E，交DC于點(diǎn)F，設(shè)CD交y軸于點(diǎn)M，

如圖，

∵OC=OD=，∠AOB=∠COM=45°，

∴OM=MC=MD=1，

∴D坐標(biāo)為（﹣1，1），

設(shè)D′橫坐標(biāo)為t，則OE=MF=t，

∴D′F=DF=t+1，

∴D′E=D′F+EF=t+2，

∴D′（t，t+2），

∵D′在反比例函數(shù)圖象上，

∴t（t+2）=2，解得t=或t=﹣﹣1（舍去），

∴D′（﹣1， +1），

∴DD′==，

即點(diǎn)D經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．