如圖△ABC中,∠ACB=90度,AC=2,BC=3.D是BC邊上一點(diǎn),直線DE⊥BC于D,交AB于點(diǎn)E,CF∥AB交直線DE于F.設(shè)CD=x.
(1)當(dāng)x取何值時(shí),四邊形EACF是菱形?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)當(dāng)x取何值時(shí),四邊形EACD的面積等于2?

【答案】分析:(1)ED、AC同時(shí)垂直于BC,因此EF∥AC,又有CF∥AB,那么四邊形ACFE是個(gè)平行四邊形,要想使其為菱形,就必須讓CF=AC=2,然后用x表示出,CF、DF的值.在Rt△CDF中用勾股定理求出x的值即可.
(2)由于四邊形ACDE是個(gè)直角梯形,可根據(jù)其面積公式求出關(guān)于x的一元二次方程,然后求出x的值.
解答:解:(1)∵在△ABC中,∠ACB=90°,
∴AC⊥BC,
又∵DE⊥BC,
∴EF∥AC
又∵AE∥CF,
∴四邊形EACF是平行四邊形.
當(dāng)CF=AC時(shí),四邊形ACFE是菱形.
此時(shí),CF=AC=2,BD=3-x,tanB=
∵tanB=
∴ED=BD•tanB=(3-x).
∴DF=EF-ED=2-(3-x)=x.
在Rt△CDF中,由勾股定理得CD2+DF2=CF2,
∴x2+(x)2=22,
∴x=±(負(fù)值不合題意,舍去).
即當(dāng)x=時(shí),四邊形ACFE是菱形.

(2)由已知得,四邊形EACD是直角梯形,S梯形EACD=DC•(DE+AC)=×(4-x)•x=-x2+2x,
依題意,得-x2+2x=2.
整理,得x2-6x+6=0.
解之,得x1=3-,x2=3+
∵x=3+>BC=3,
∴x=3+舍去.
∴當(dāng)x=3-時(shí),梯形EACD的面積等于2.
點(diǎn)評(píng):本題的關(guān)鍵是如何判定四邊形EFCA是菱形,菱形的判別方法是說(shuō)明一個(gè)四邊形為菱形的理論依據(jù),常用三種方法:①定義,②四邊相等,③對(duì)角線互相垂直平分.
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A、
12
7
B、
1
5
C、
5
3
D、2

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