Question

已知：如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點A（6，0）、B（6，4），D是BC的中點．動點P從O點出發(fā)，以每秒1個單位的速度，沿著OA、AB、BD運動．設(shè)P點運動的時間為t秒（0＜t＜13）．
（1）寫出△POD的面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出△POD的面積等于9時點P的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點P在OA上運動時，連結(jié)CP．問：是否存在某一時刻t，當(dāng)CP繞點P旋轉(zhuǎn)時，點C能恰好落到AB的中點M處？若存在，請求出t的值并判斷此時△CPM的形狀；若不存在，請說明理由；
（3）當(dāng)點P在AB上運動時，試探索當(dāng)PO+PD的長最短時的直線PD的表達式．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得OA=BC=6，CD=BD=3，AB=4，然后分三種情況求解：當(dāng)0＜t≤6，如圖1，OP=t，根據(jù)三角形面積公式得S=2t，再求出S=9所對應(yīng)的t的值，然后寫出此時P點坐標(biāo)；當(dāng)6＜t≤10，如圖2，則AP=t-6，BP=10-t，利用S=S_矩形ABCD-S_△OCD-S_△OAP-S_△BPD得到S=-

3

2

t+21，再求出S=9所對應(yīng)的t的值，然后寫出此時P點坐標(biāo)；當(dāng)10＜t＜13，如圖3，則PB=13-t，根據(jù)三角形的面積公式得S=-2t+26，由于S=9時，計算出t=7.5，而7.5不合題意故舍去；
（2）如圖4，E點為AB的中點，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得PC=PE，在Rt△POC中，利用勾股定理得PC²=t²+4²；在Rt△PAE中，利用勾股定理得到PE²=（6-t）²+2²，則t²+4²=（6-t）²+2²，解方程得t=2；
（3）找到點O關(guān)于AB所在直線對稱的點的坐標(biāo)后連接點O的對稱點和點D與AB的交點即為點P，然后利用待定系數(shù)法確定直線PD的解析式即可．

解答：解：（1）∵矩形OABC的頂點A（6，0）、B（6，4），D是BC的中點，
∴OA=BC=6，CD=BD=3，AB=4，
當(dāng)點P在OA上運動時，即0＜t≤6，如圖1，OP=t，S=

1

2

•t•4=2t；
∵S=9，
∴2t=9，解得t=4.5，
∴此時P點坐標(biāo)為（4.5，0）；
當(dāng)點P在AB上運動時，即6＜t≤10，如圖2，AP=t-6，BP=10-t，S=S_矩形ABCD-S_△OCD-S_△OAP-S_△BPD
=4×6-

1

2

•4×3-

1

2

•6•（t-6）-

1

2

•3•（10-t）
=-

3

2

t+21；
∵S=9，
∴-

3

2

t+21=9，解得t=8，
∴此時P點坐標(biāo)為（6，2）；
當(dāng)點P在BD上運動時，即10＜t＜13，如圖3，PB=13-t，S=

1

2

•（13-t）•4=-2t+26；
∵S=9，
∴-2t+26=9，解得t=7.5（不合題意舍去）；

（2）存在．
如圖4，E點為AB的中點，
∵CP繞點P旋轉(zhuǎn)時，點C能恰好落到AB的中點，
∴PC=PE，
在Rt△POC中，OC=4，OP=t，
∴PC²=OP²+OC²=t²+4²，
在Rt△PAE中，AE=2，PA=6-t，
∴PE²=PA²+AE²=（6-t）²+2²，
∴t²+4²=（6-t）²+2²，解得t=2，
即當(dāng)t=2s時，當(dāng)CP繞點P旋轉(zhuǎn)時，點C能恰好落到AB的中點處．

（3）根據(jù)題意得：點O關(guān)于直線AB的對稱點的坐標(biāo)為O′的坐標(biāo)為：（12，0），
連接O′D交AB于點P，此時PD+PO最短；
設(shè)PD的解析式為y=kx+b，
得：

12k+b=0 3k+b=0

，
解得：

k=- 4 9 b= 16 3

，
故直線PD的表達式為y=-

4

9

x+

16

3

．

點評：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握矩形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；會利用勾股定理和三角形的面積公式進行幾何計算；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；學(xué)會解決有關(guān)動點的問題．