【題目】如圖,拋物線y=x24xx軸交于O,A兩點,P為拋物線上一點,過點P的直線y=x+m與對稱軸交于點Q

1)這條拋物線的對稱軸是 ,直線PQx軸所夾銳角的度數(shù)是 ;

2)若兩個三角形面積滿足SPOQ=SPAQ,求m的值;

3)當點Px軸下方的拋物線上時,過點C2,2)的直線AC與直線PQ交于點D,求:PDDQ的最大值;PDDQ的最大值.

【答案】(1x=2,45;(2m=-12;(36;18

【解析】試題分析:(1)把解析式轉(zhuǎn)化成頂點式,或利用對稱軸公式即可得該拋物線的對稱軸,利用直線y=x+m與坐標軸的交點坐標即可求得直線PQx軸所夾銳角的度數(shù);(2)分情況討論,即直線PQx軸的交點落在OA的延長線上,OA上,AO的延長線上三種情況討論m.設直線PQx軸于點B,分別過O點,A點作PQ的垂線,垂足分別是E、F,,當點BOA的延長線時,SPOQ=SPAQ不成立;當點B落在線段OA上時, ,由OBE∽△ABF得, ,由對稱軸求出A點坐標,再由比例式求出B點坐標,代入直線PQ解析式,即可求得m值;當點B落在線段AO的延長線上時,同理由比例式求出B點坐標,進而確定m值;(3)由題意可過點CCHx軸交直線PQ于點H,可得CHQ是等腰三角形,ADPHDQ=DH,PDDQ=PH,過P點作PMCH于點M,可得PMH是等腰直角三角形,PH=PM,即當PM最大時,PH最大,顯然當點P在拋物線頂點處時,PM最大,此時PM=6,于是求得PH的最大值.PDDQ的最大值;上題求得PD+DQ的最大值為6.即PD+DQ ≤6,設PD=a,則DQ ≤6a,所以PDDQ≤a6a=-(a3218,即當PD=DQ=3時求得PDDQ的最大值

試題解析:(1y=x24x=(x2)24,拋物線的對稱軸是直線x=2直線y=x+m與坐標軸的交點坐標為(m,0)(0,m)交點到原點的距離相等,直線與坐標軸圍成的三角形是等腰直角三角形,直線PQx軸所夾銳角的度數(shù)是45°.故答案為x=245°.(2)設直線PQx軸于點B,分別過O點,A點作PQ的垂線,垂足分別是E、F,顯然當點BOA的延長線時,OE>AF,SPOQ=SPAQ不成立;當點B落在線段OA上時,如圖,

,由OBE∽△ABF得, ,AB=3OB,OB =OA,由y=x24x得點A4,0),OB=1B1,0),代入y=x+m,1m=0,m=1;當點B落在線段AO的延長線上時,如圖,

同理可得OB =OA=2,B(-20),2m=0m=2,;綜上所述,當m=12時,SPOQ=SPAQ

3過點CCH∥x軸交直線PQ于點H,如圖,

可得CHQ是等腰三角形,=45°+45°=90°,ADPH,DQ=DH,PDDQ=PH,過P點作PMCH于點M,則PMH是等腰直角三角形,PH=PM,PM最大時,PH最大,當點P在拋物線頂點處時,PM最大,此時PM=6,PH的最大值為6,即PD+DQ的最大值為6可知:PD+DQ ≤6,設PD=a,則DQ ≤6a,PDDQ ≤a6a=a26a=-(a3218,當點P在拋物線的頂點時,a=3,PDDQ ≤18.;PDDQ的最大值為18

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