【題目】已知:ABC 內(nèi)接于⊙O,過點 A 作⊙O 的切線交 CB 的延長線于點 P,且∠PAB=45°

1)如圖 1,求∠ACB 的度數(shù);

2)如圖 2AD 是⊙O 的直徑,AD BC 于點 E,連接 CD,求證:AC CD ;

3)如圖 3 ,在(2)的條件下,當(dāng) BC 4CD 時,點 F,G 分別在 AP,AB 上,連接 BF,FG,∠BFG=P,且 BF=FG,若 AE=15,求 FG 的長.

【答案】1)∠ACB45°;(2)見解析;(3

【解析】

1)連接OA,OB,根據(jù)切線的性質(zhì)求出∠OAB=∠OBA45°,得到∠AOB90°,再根據(jù)圓周角定理可得答案;

2)作AMBCM,DNBCN,連接BD,易求,,然后證明ABM≌△BDN,得到AMBN,等量代換即可得證;

3)根據(jù)(2)中結(jié)論求出,然后證明AMCDNC,AMDN,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理求得DEAD,進而利用勾股定理求出CD,AC,然后即可求出AB的長,再證明PAB∽△PCA,求出PA,可得,過點GGKFB,過點FFHBG,設(shè)GK3b,利用三角函數(shù)及等腰三角形的性質(zhì)求出AHBH,然后列方程求出b值即可解決問題.

解:(1)連接OAOB,則OAOB,

∴∠OAB=∠OBA,

PA是⊙O的切線,

∴∠PAO90°,

∵∠PAB45°,

∴∠OAB=∠OBA45°,

∴∠AOB90°

∴∠ACBAOB45°;

2)作AMBCMDNBCN,連接BD,

AD是⊙O的直徑,

∴∠ABD=∠ACD90°,

∵∠ACB45°,

∴∠CAM=∠BCD=∠CDN45°,

,

∵∠ADB=∠ACB45°,

ABBD,

∵∠ABM+∠DBN90°=∠BDN+∠DBN

∴∠ABM=∠BDN,

又∵∠AMB=∠BND90°

∴△ABM≌△BDNAAS),

AMBN

;

3)如圖3,作AMBCM,DNBCN,由(2)可知:

,

,即,

設(shè)CDx,則AC7x,

∵∠AMC=∠DNC90°,∠ACM=∠DCN45°,

∴△AMC∽△DNC

,

AMBC,DNBC,

AMDN

,

,

RtACD中,AC2+CD2AD2

解得:(負(fù)值已舍去),

,,

∵△AMC是等腰直角三角形,

,

,

∵∠P=∠P,∠PAB=∠PCA45°,

∴△PAB∽△PCA,

,

設(shè)PB5a,則PA7a,

PA2PB·PC得:

解得:a0(舍去),

PA20

,

過點GGKFB,過點FFHBG,

設(shè)GK3b,則BFFG5b,

FK4b,

BKb

,

BH

,

∵∠PAB45°,

AHFH,

解得:,

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1)甲、乙兩地之間的距離為 ;

2)請解釋圖中點的實際意義:__________;

3)求線段所表示的之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍.

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如圖1,求直線CD的解析式;

如圖2,點P在線段ABP不與點A,B重合,過點P軸,交CD于點Q,點EPQ的中點,設(shè)P點的橫坐標(biāo)為tEQ的長為d,求dt之間的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量t的取值范圍;

如圖3,在的條件下,以CQ為斜邊作等腰直角,且點M在直線CD的右側(cè),連接OE,OM,當(dāng)時,求點M的坐標(biāo).

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1)求線段AC所在直線的解析式和m的值.

2)連接OE,OFEF,求OEF的面積.

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