【題目】如圖,已知拋物線y= x2 x﹣2與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)D是此拋物線上的點(diǎn),點(diǎn)E是其對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn),求以A,B,D,E為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積;
(3)此拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P,使得△ACP是等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)

解:令y=0得: x2 x﹣2=0,解得x=﹣2或x=4,

∴A(4,0)、B(﹣2,0).

把x=0代入拋物線的解析式得:y=﹣2,

∴C(0,﹣2)


(2)

解:由題意得,拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=1,

如圖1,當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí),D1為拋物線的頂點(diǎn),此時(shí)四邊形ADBE為菱形,

∴AB=6,DE=|2k|= ,

故S平行四邊形ADBE= ×6× =

當(dāng)AB為邊時(shí),DE∥AB,且DE=AB,

只能在x軸上方,有兩種情況,D2(﹣5, )或D3(7, )但面積相等,

S平行四邊形ABDE=6× = ,

∴以點(diǎn)A,B,D,E為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積為


(3)

解:此拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)P,使得△ACP是等腰三角形,設(shè)P(1,a),

∴AP2=a2+9,CP2=(a+2)2+1=a2+4a+5,AC2=20,

①當(dāng)AP=CP時(shí),即:a2+9=a2+4a+5,

∴a=1,

∴P1(1,1)

②當(dāng)AC=CP時(shí),即:a2+4a+5=20,

∴a=﹣2±

∴P2(1,﹣2+ ),P3(1,﹣2﹣

③當(dāng)AC=AP時(shí),即:a2+9=20,

∴a=± ,

∴P4(1, ),P5(1,﹣ ),

∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1(1,1)、P2(1,﹣2+ ),P3(1,﹣2﹣ )、P4(1, ),P5(1,﹣ ).


【解析】(1)分別令y=0,x=0,即可解決問(wèn)題.(2)分以AB為邊和為對(duì)角線兩種情況,利用面積公式即可求出平行四邊形的面積.(3)先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),進(jìn)而表示出AP.CP.AC,再按等腰三角形的邊分成三種情況,建立方程求解即可.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解二次函數(shù)的圖象(二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)),還要掌握二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱(chēng)軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱(chēng)軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱(chēng)軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱(chēng)軸右邊,y隨x增大而減小)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.

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