Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，的面積為3時(shí)，且，求點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）如圖3，在（2）的條件下，、為拋物線上的點(diǎn)，且兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，過作軸垂線交過點(diǎn)且平行于軸的直線于，交拋物線于，延長(zhǎng)至，連接，，當(dāng)線段時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

(1)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問題；
(2)如圖2中，作PH⊥AB于H，交BC于T．，作CE⊥PH于E，設(shè)P(，)．構(gòu)建方程即可解決問題；
(3)如圖3中，作RM⊥DQ于M，連接EM．DH交AB于N．設(shè)D(n，)．首先證明△EDQ∽△HDE，推出∠HEQ=90°，由∠REH+∠RMH=180°，推出E、H、M、R四點(diǎn)共圓，推出∠ERH=∠EMH，推出tan∠ERH=tan∠EMD=，推出DM=(n-1)，推出QM=，由RM∥DE，可得，推出RM=，可得點(diǎn)R的坐標(biāo)，把點(diǎn)R坐標(biāo)代入，轉(zhuǎn)化為方程解決問題即可．

(1)對(duì)于拋物線，

令y=0，得到，解得或3，
∴A(-1，0)，B(3，0)，
∴OB=3，
∵∠ABC=45°，
∴OC=OB=3，
∴C(0，3)，把(0，3)代入得到，
∴拋物線的解析式為；
(2)如圖2中，作PH⊥AB于H，交BC于T，作CE⊥PH于E，設(shè)P(，)．

∵B(3，0)，C(0，3)，

設(shè)直線BC的解析式為，

把B(3，0)代入得：，

解得：，
∴直線BC的解析式為，
∴T，
∵

，
整理得：，
∴或2，
∵∠PCB＞45°，
∴，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，4)；

(3)如圖3中，作RM⊥DQ于M，連接EM，DH交AB于N．設(shè)D(n，)．

∵D、E兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)P的坐標(biāo)(1，4)，拋物線對(duì)稱軸為，
∴PQ∥DE∥軸，DQ⊥軸，
∴Q(n，4)，

∴DE=，DQ=，
∴，，
∴，
∵∠EDQ=∠EDH=90°，
∴△EDQ∽△HDE，
∴∠DEQ=∠EHD，
∵∠DEQ+∠EQD=90°，
∴∠EHD+∠EQD=90°，
∴∠HEQ=90°，
∵∠REH+∠RMH=180°，
∴E、H、M、R四點(diǎn)共圓，
∴∠ERH=∠EMH，
∴tan∠ERH=tan∠EMD=，
∴DM=，
∴QM=DQ-DM=，
∵RM⊥DQ，

∴RM∥DE，
∴，即，
∴RM=，
∴點(diǎn)R的坐標(biāo)為，

即，

把點(diǎn)R坐標(biāo)代入得到：

，
解得：，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，)．