Question

20．已知：半圓O的直徑AB=6，點C在半圓O上，且tan∠ABC=2$\sqrt{2}$，點D為弧AC上一點，聯(lián)結(jié)DC（如圖）
（1）求BC的長；
（2）若射線DC交射線AB于點M，且△MBC與△MOC相似，求CD的長；
（3）聯(lián)結(jié)OD，當OD∥BC時，作∠DOB的平分線交線段DC于點N，求ON的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，根據(jù)AB是直徑，得△ABC是直角三角形，利用勾股定理即可解決問題．
（2）如圖2中，只要證明△OBC≌△OCD得BC=CD，即可解決問題．
（3）如圖3中，延長ON交BC的延長線于G，作GH⊥OB于H，先求出BG，根據(jù)tan∠HBG=2$\sqrt{2}$，利用勾股定理求出線段HB、HG，再利用CG∥DO得$\frac{CG}{OD}=\frac{GN}{ON}$，由此即可解決．

解答 解；（1）如圖1中，連接AC，

∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵tan∠ABC=2$\sqrt{2}$，
∴可以假設AC=2$\sqrt{2}$k，BC=k，
∵AB=6，AB²=AC²+BC²，
∴36=8k²+k²，
∴k²=4，
∵k＞0，
∴k=2，BC=2．
（2）如圖2中，

∵△MBC與△MOC相似，
∴∠MBC=∠MCO，
∵∠MBC+∠OBC=180°，∠MCO+∠OCD=180°，
∴∠OBC=∠OCD，
∵OB=OC=OD，
∴∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC，
在△OBC和△OCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBC=∠OCD}\\{∠OCB=∠ODC}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴△OBC≌△OCD，
∴BC=CD=2．
（3）如圖3中，延長ON交BC的延長線于G，作GH⊥OB于H．

∵BC∥OD，
∴∠DOG=∠OGB=∠GOB，
∴BO=BG=3，
∵tan∠HBG=$\frac{GH}{HB}=2\sqrt{2}$，設GH=2$\sqrt{2}$a，HB=a，
∵BG²=GH²+HB²，
∴8a²+a²=9，
∴a²=1，
∵a＞0，
∴a=1，HB=1，GH=2$\sqrt{2}$，OH=2，OG=$\sqrt{O{H}^{2}+H{G}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵GC∥DO，
∴$\frac{GN}{ON}=\frac{CG}{OD}$=$\frac{1}{3}$，
∴ON=$\frac{3}{4}$×$2\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查圓的有關知識、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，靈活應用這些知識解決問題是解題的關鍵，第三個問題的關鍵是利用平行線分線段成比例定理，屬于中考壓軸題．