Question

8．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點(diǎn)E，連接DE交AC于點(diǎn)F．
（1）求證：∠DAN=90°；
（2）求證：四邊形ADCE是一個(gè)矩形；
（3）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形？請(qǐng)給出證明；
當(dāng)四邊形ADCE是正方形，若AB=3$\sqrt{2}$，求正方形ADCE的面積．

Answer 1

分析 （1）利用角平分線的定義和鄰補(bǔ)角的定義即可得出∠DAN的度數(shù)；
（2）利用有三個(gè)內(nèi)角是直角的四邊形是矩形的判斷方法即可；
（3）利用鄰邊相等的矩形是正方形，求出正方形的邊長(zhǎng)，從而求出正方形的面積．

解答
（1）證明：如圖1，∵AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}∠$BAC．
∵AN是△ABC外角的平分線，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}∠$CAM，
∵∠BAC與∠CAM是鄰補(bǔ)角，
∴∠BAC+∠CAM=180°，
∴∠DAN=∠CAD+∠CAE=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠CAM）=90°，
（2）證明：∵AD⊥BC，CE⊥AN，∠DAN=90°，
∴∠ADC=∠CEA=∠DAN=90°，
∴四邊形ADCE為矩形．

（3）解：如圖2，當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形．
∵∠BAC=90°，且AB=AC，AD⊥BC，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}∠$BAC=45°，
∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠CAD=45°，
∴AD=AC．
∵四邊形ADCE為矩形，
∴四邊形ADCE為正方形．
由勾股定理，得$\sqrt{{AD}^{2}{+CD}^{2}}$=AC，
∵AD=CD，
∴$\sqrt{2}$AD=3$\sqrt{2}$，
∴AD=3，
∴正方形ADCE的面積=AD²=3×3=9．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，主要考查正方形的判斷方法，涉及到知識(shí)有，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，如由AB=AC，AD⊥BC得到∠CAD=$\frac{1}{2}∠$BAC，三角形的外角的平分線，勾股定理；本題的關(guān)鍵是整體計(jì)算∠DAN=∠CAD+∠CAE=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠CAM）=90°．