Question

【題目】如圖，在△ABG中，AB=AC=1，∠A=45°，邊長(zhǎng)為1的正方形的一個(gè)頂點(diǎn)D在邊AG上，與△ADC另兩邊分別交于點(diǎn)E、F，DE∥AB，將正方形平移，使點(diǎn)D保持在AC上（D不與A重含），設(shè)AF=x，正方形與△ABC重疊部分的面積為y．

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；

（2）x為何值時(shí)y的值最大？

Answer 1

【答案】（1）（） （2）

【解析】

（1）當(dāng)點(diǎn)D保持在AC上時(shí)，正方形與△ABC重疊部分為直角梯形DEBF，根據(jù)直角梯形的面積公式，只需用含x的代數(shù)式分別表示出上底DE、下底BF及高DF的長(zhǎng)度即可．由△ADF為等腰直角三角形，可得高DF=AF=x；則AD=x，下底BF=AB-AF=1-x；進(jìn)而得出CD=AC-AD=1-x，再根據(jù)等腰三角形及平行線(xiàn)的性質(zhì)可證∠C=∠CED，得出上底DE=CD=1-x；根據(jù)點(diǎn)D保持在AC上，且D不與A重合，可知0＜AD≤1，從而求出自變量x的取值范圍；
（2）由（1）知，y是x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可知當(dāng)x=-時(shí)，y的值最大；

解：（1）∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵DE∥AB，

∴∠B=∠CED，∠AFD=∠FDE=90°，

∴∠C=∠CED，

∴DC=DE．

在Rt△ADF中，∵∠A=45°，

∴∠ADF=45°=∠A，

∴AF=DF=x，

∴AD=,

∴DC=DE=1﹣x，

∴y=（DE+FB）×DF=（1﹣x+1﹣x）x=﹣（+1）x2+x．

∵點(diǎn)D保持在AC上，且D不與A重合，

∴0＜AD≤1，

∴0＜x≤1，

∴0＜x≤．

故y=﹣（+1）x2+x，自變量x的取值范圍是0＜x≤；

（2）∵y=﹣（+1）x2+x，

∴當(dāng)x=-=﹣1時(shí)，y有最大值．