Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的高線，BF平分∠ABC交AD于點(diǎn)F，以AB上的點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的⊙O交AB于點(diǎn)E，恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)F．
（1）求證：AD與⊙O相切；
（2）當(dāng)BC=4，cos∠C=

1

3

時(shí)，求線段AE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）如圖，作輔助線；證明OF∥BD，根據(jù)BD⊥AD，得到OF⊥AD，即可解決問(wèn)題．
（2）如圖，根據(jù)題意求出AB、BD的長(zhǎng)度；運(yùn)用△AOF∽△ABD，列出比例式

OF

BD

=

AO

AB

，即

λ

2

=

6-λ

6

，求出λ即可解決問(wèn)題．

解答：（1）證明：如圖，連接OF；
∵OB=OF，
∴∠OFB=∠OBF，而B(niǎo)F平分∠ABC，
∴∠DBF=∠OBF，
∴∠OFB=∠DBF，
∴OF∥BD，而B(niǎo)D⊥AD，
∴OF⊥AD，即AD與⊙O相切．
（2）解：∵AB=AC，AD是BC邊上的高線，
∴BD=CD=

1

2

BC=2；∠ABD=∠C；
∴cos∠ABD=cos∠C=

1

3

，
∴AB=3BD=6；設(shè)⊙O的半徑為λ，
則AO=6-λ；
∵OF∥BD，
∴△AOF∽△ABD，
∴

OF

BD

=

AO

AB

，即

λ

2

=

6-λ

6

，
解得：λ=1.5，
∴AE=6-2λ=3．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了圓的切線的判定、相似三角形的判定及其性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運(yùn)用切線的判定、相似三角形的判定及其性質(zhì)來(lái)分析、判斷、推理或解答．