【題目】綜合與實(shí)踐:

問題情境:

在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐課上,張老師啟示大家利用直線、線段以及點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變換進(jìn)行探究活動(dòng).變換條件如下:如圖 1,直線 AB,AC,BC 兩兩相交于 AB,C 三點(diǎn),得知△ABC是等邊三角形,點(diǎn) E 是直線 AC 上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn) E 不與點(diǎn) AC 重合),點(diǎn) F 在直線 BC上,連接 BE,EF,使 EF=BE

獨(dú)立思考:

1)張老師首先提出了這樣一個(gè)問題:如圖 1,當(dāng)E是線段 AC 的中點(diǎn)時(shí),確定線段 AE CF 的數(shù)量關(guān)系,請(qǐng)你直接寫出結(jié)論:AE____ CF(填“>” “<”或“=”).

提出問題:

2)“奮斗”小組受此問題的啟發(fā),提出問題:若點(diǎn)E是線段 AC 上的任意一點(diǎn),其他條件不變,(1)中的結(jié)論是否成立?該小組認(rèn)為結(jié)論仍然成立,理由如下:如圖 2,過點(diǎn) E EDBC,交 AB 于點(diǎn) D. (請(qǐng)你補(bǔ)充完整證明過程)

拓展延伸:

3)“縝密”小組提出的問題是:動(dòng)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)位置如圖3,圖4所示,其他條件不變,根據(jù)題意補(bǔ)全圖形,并判斷線段AECF的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化? 請(qǐng)你選擇其中一種予以證明.

4)“愛心”小組提出的問題是:若等邊△ABC 的邊長(zhǎng)為 ,AE=1,則BF 的長(zhǎng)為__________.(請(qǐng)你直接寫出結(jié)果).

【答案】1)=;(2)見解析;(3)沒有發(fā)生變化;證明見解析;(4

【解析】

1)根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和三線合一得到AE=CE,∠EBC=30°,∠ECB=60°,根據(jù)等邊對(duì)等角可知∠EFC=EBC=30°,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠ECB=EFC+FEC,進(jìn)而求出∠FEC,根據(jù)等角對(duì)等邊得到CE=CF,再利用等量代換即可解決問題.

2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到△ADE是等邊三角形,進(jìn)而可知BD=CE,根據(jù)等邊對(duì)等角可知∠EFC=EBC,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠EFC+CEF=60°,結(jié)合∠DBE+EBC=60°,進(jìn)而證得∠DBE=CEF,利用SAS證得△DBE≌△CEF,利用全等三角形的性質(zhì)得到CF=DE,即可得證;

3)作出圖3,過點(diǎn)EEDAB,交BF于點(diǎn)D,同(2)中方法證明△BED≌△FEC,即可得證;作出圖4,過點(diǎn)EEDBC,交BA于點(diǎn)D,同(2)中方法證明△BED≌△EFC,即可得證;

4)根據(jù)前面的證明可知,當(dāng)點(diǎn)EAC延長(zhǎng)線上時(shí),BF=BC+CF;當(dāng)點(diǎn)EAC上時(shí),BF=BC+CF;當(dāng)點(diǎn)ECA延長(zhǎng)線上時(shí),BF=BC-CF;再結(jié)合CF=AE即可求得BF.

1AE=CF

證明:如圖1,∵△ABC是等邊三角形,點(diǎn)EAC中點(diǎn)

AE=CE,∠EBC=30°,∠ECB=60°

EF=BE

∴∠EFC=EBC=30°

∵∠ECB=EFC+FEC

∴∠FEC=30°

CE=CF

AE=CF

故答案為:=

2

該結(jié)論論仍然成立,理由如下:如圖 2,過點(diǎn) E EDBC,交 AB 于點(diǎn) D.

∵△ABC是等邊三角形,

∴∠ACB=ABC=BAC=60°,AB=AC=BC

EDBC,

∴∠ADE=AED=60°

∴△ADE是等邊三角形

AD=AE=DE

AB-AD=AC-AE,即BD=CE

BE=EF

∴∠EBC=EFC

∵∠DBE+EBC=60°

EFC+CEF=60°

∴∠DBE=CEF

∴△DBE≌△CEFSAS

CF=DE

CF=AE

3)如圖3所示

線段AECF的數(shù)量關(guān)系沒有發(fā)生變化,

證明:過點(diǎn)EEDAB,交BF于點(diǎn)D

∵△ABC是等邊三角形,

∴∠ACB=ABC=BAC=60°,AB=AC=BC

EDAB,

∴∠AED=BAC=60°,∠CDE=ABC=60°

∴△ADE是等邊三角形

CD=DE=CE

AB-AD=AC-AE,即BD=CE

BE=EF

∴∠EBC=DFE

∵∠CBE+CEB=ACB=60°

DEF+DFE=CDE=60°

∴∠BEC=DEF

∴∠BEC+CED=DEF+CED

即∠BED=CEF

∴△BED≌△FECSAS

BD=CF

BD=BC+CD=AC+CE=AE

CF=AE

如圖4所示,

線段AECF的數(shù)量關(guān)系沒有發(fā)生變化,

證明:過點(diǎn)EEDBC,交BA于點(diǎn)D

∵△ABC是等邊三角形,

∴∠ACB=ABC=BAC=60°,AB=AC=BC

EDBC,

∴∠AED=ACB=60°,∠EDA=ABC=60°

∴△ADE是等邊三角形

AE=ED=AD

AB+AD=AC+AE,即BD=CE

BE=EF

∴∠EBC=EFB

∵∠EBA+ABC=EBC

FEC+ACB=EFB

∴∠EBA=FEC

∴△BED≌△EFCSAS

ED=FC

CF=AE

4)當(dāng)點(diǎn)EAC延長(zhǎng)線上時(shí),

BF=BC+CF,CF=AE

BF=BC+AE=

當(dāng)點(diǎn)EAC上時(shí),

BF=BC+CFCF=AE

BF=BC+AE=

當(dāng)點(diǎn)ECA延長(zhǎng)線上時(shí),

BF=BC-CF,CF=AE

BF=BC-AE=

綜上所述,BF=

故答案為:

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)在這次調(diào)查中,喜歡籃球項(xiàng)目的同學(xué)有   人,在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,乒乓球的百分比為   %,如果學(xué)校有800名學(xué)生,估計(jì)全校學(xué)生中有   人喜歡籃球項(xiàng)目.

2)請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.

3)在被調(diào)查的學(xué)生中,喜歡籃球的有2名女同學(xué),其余為男同學(xué).現(xiàn)要從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)代表班級(jí)參加;@球隊(duì),請(qǐng)直接寫出所抽取的2名同學(xué)恰好是1名女同學(xué)和1名男同學(xué)的概率.

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2)若B、C在的兩側(cè)(如圖所示 ),其他條件不變,ABAC仍垂直嗎?若是請(qǐng)給出證明;若不是,請(qǐng)說明理由.

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(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部時(shí),猜想EDEB數(shù)量關(guān)系,并加以證明;

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在△ABC外部時(shí),EHAB于點(diǎn)H,過點(diǎn)EGEAB,交線段AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,AG=5CG,BH=3.求CG的長(zhǎng).

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1AC   cm;

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