Question

如圖，正方形ABCO的邊長(zhǎng)為

5

，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，把正方形ABCO繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α后得到正方形A₁B₁C₁O（α＜45°），B₁C₁交y軸于點(diǎn)D，且D為B₁C₁的中點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)A₁、B₁、C₁．
（1）求tanα的值；
（2）求點(diǎn)A₁的坐標(biāo)，并直接寫出點(diǎn)B₁、點(diǎn)C₁的坐標(biāo)；
（3）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及其對(duì)稱軸；
（4）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PB₁C₁為直角三角形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的知識(shí)可知：四邊形A₁B₁C₁O為正方形，∴OC₁=B₁C₁，∠OC₁B₁=90°，∠C₁OD=∠AOA₁=α，又∵D是B₁C₁的中點(diǎn)，∴C1D=

1

2

B1C1=

1

2

OC1，∴在Rt△C₁OD中，tanα=

C1D

OC1

=

1

2

．∴tanα的值是

1

2

；
（2）根據(jù)三角函數(shù)與勾股定理即可求得點(diǎn)A₁的坐標(biāo)，并直接寫出點(diǎn)B₁、點(diǎn)C₁的坐標(biāo)；要注意方程思想的應(yīng)用；
（3）將點(diǎn)A₁，B₁，C₁的坐標(biāo)代入解析式，利用方程組即可求得解析式，再求得對(duì)稱軸；
（4）一種是與線段B₁C₁垂直的直線：分別過點(diǎn)B₁、C₁；一種是根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角求得，以線段B₁C₁為直徑作圓，與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即是所求點(diǎn)．

解答：解：（1）∵四邊形A₁B₁C₁O為正方形，
∴OC₁=B₁C₁，∠OC₁B₁=90度．
又∵D是B₁C₁的中點(diǎn)，
∴C1D=

1

2

B1C1=

1

2

OC1．
∵由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，∠C₁OD=∠AOA₁=α，
∴在Rt△C₁OD中，tanα=

C1D

OC1

=

1

2

．
∴tanα的值是

1

2

．（2分）

（2）過點(diǎn)A₁作A₁E⊥x軸，垂足為點(diǎn)E．
在Rt△A₁EO中，tanα=

A1E

OE

，
∴

A1E

OE

=

1

2

．
設(shè)A₁E=k，則OE=2k，在Rt△A₁EO中，OA1=

5

，
根據(jù)勾股定理，得A₁E²+OE²=OA₁²．
即k2+(2k)2=(

5

)2，
解得k₁=-1（舍），k₂=1．
∴A₁E=1，OE=2．
又∵點(diǎn)A₁在第二象限，
∴點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（-2，1）．（4分）
直接寫出點(diǎn)B₁的坐標(biāo)為（-1，3），點(diǎn)C₁的坐標(biāo)為（1，2）．（6分）

（3）∵拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)A₁，B₁，C₁．
∴

4a-2b+c=1 a-b+c=3 a+b+c=2

解得

a=- 5 6 b=- 1 2 c= 10 3

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-

5

6

x2-

1

2

x+

10

3

．（8分）
將其配方，得y=-

5

6

(x+

3

10

)2+

409

120

．
∴拋物線的對(duì)稱軸是直線x=-

3

10

．（9分）

（4）存在點(diǎn)P，使△PB₁C₁為直角三角形．（10分）
滿足條件的點(diǎn)P共有4個(gè)：P1(-

3

10

，

22

5

)，P2(-

3

10

，-

3

5

)，P3(-

3

10

，

25+2 29

10

)，P4(-

3

10

，

25-2 29

10

)．（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題屬于中考中的壓軸題，難度較大，知識(shí)點(diǎn)考查的較多而且聯(lián)系密切，需要學(xué)生認(rèn)真審題．此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)，三角形、四邊形的綜合知識(shí)，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．