【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-10)、B30)、C(0,3)三點(diǎn)。

(1)求拋物線的解析式。

(2)求△ABC的面積。若P是拋物線上一點(diǎn)(異于點(diǎn)C),且滿足△ABP的面積等于△ABC的面積,求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)。

3)點(diǎn)M是線段BC上的點(diǎn)(不與B,C重合),過(guò)MMN軸交拋物線于N若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為,請(qǐng)用含的代數(shù)式表示線段MN的長(zhǎng)。

4)在(3)的條件下,連接NB、NC則是否存在點(diǎn)M,使△BNC的面積最大?若存在,求的值,并求出BNC面積的最大值。若不存在,說(shuō)明理由。

【答案】1y=x2+2x+3 2)(2,3)(,-3)(,-3 3MN=m2+3m 4)存在

【解析】試題分析

1)根據(jù)已知條件設(shè)拋物線的解析式為頂點(diǎn)式,代入點(diǎn)C的坐標(biāo)求得的值就可得解析式為;

2)由已知條件可求得△ABC的面積為6,由點(diǎn)P在拋物線上可設(shè)其坐標(biāo)為,則由題意可得△ABP中,AB邊上的高為,由此可求得的值,從而可得點(diǎn)P的坐標(biāo);

3如圖1由已知可求出直線BC的解析式,再由MN軸,可用含“”的代數(shù)式表達(dá)出M、N的縱坐標(biāo),用點(diǎn)N的縱坐標(biāo)減去M的縱坐標(biāo)可得MN的長(zhǎng);

4如圖2,連接BNCN,設(shè)△BNC的面積為S,由S=MNOD+BD)可表達(dá)出面積,結(jié)合(3)中“”的取值范圍可求出S的最大值.

試題解析

(1)由已知條件可設(shè)拋物線解析式為,

∵點(diǎn)C0,3)在拋物線上.

解得

∴拋物線解析式為.

2)∵點(diǎn)A、BC的坐標(biāo)分別為:A(-1,0)、B3,0)、C0,3),

∴AB=4,OC=3

SABC=,

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

∵ S△ABP= SABC=6,

∴點(diǎn)P縱坐標(biāo)的絕對(duì)值等于OC的長(zhǎng),即:

當(dāng)x2+2x+3.=3時(shí),解得

∴P0,3)(舍), P2,3

當(dāng)x2+2x+3.=-3時(shí),解得

P,-3), P,-3

∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3)(,-3)(,-3

3)如圖1,設(shè)MNx軸于點(diǎn)D

∵M(jìn)N∥y軸,點(diǎn)M橫坐標(biāo)為m,

N的橫坐標(biāo)為m, Dm,0)

∵點(diǎn)N在拋物線上

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為N( m, m2+2m+3),

設(shè)直線BC解析式為y=kx+b,

解得

∴直線BC的解析式為y= x+3.

∵點(diǎn)M在直線BC,

∴點(diǎn)Mm, m+3)

MN=DNDM=(m2+2m+3)(m+3)=m2+3m

(4)存在.2,連接BNCN

設(shè)△BNC的面積為S,則

,且

時(shí),BNC的面積最大最大面積為.

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(2)當(dāng)⊙P過(guò)點(diǎn)B時(shí),求⊙Py軸所截得的劣弧的長(zhǎng);

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