Question

18．如圖，直線y=-x+3與x軸交于B點，與y軸交于點C，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過B、C兩點，且與x軸交于另一點A（A在B的左邊）．
（1 ） 求B、C兩點的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）E是拋物線BC段上的一個動點，作EQ⊥AB交BC于F，則線段EF的長是否有最大值？若存在，請直接寫出線段EF長的最大值和此時E點坐標(biāo)；若不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

分析 （1）由直線BC的解析式結(jié)合一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可求出點B、C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)點E的坐標(biāo)為（m，-m²+2m+3），進(jìn)而可得出點F的坐標(biāo)，由點E、F的坐標(biāo)即可得出線段EF關(guān)于m的關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時，y=3，
∴點C的坐標(biāo)為（0，3）；
當(dāng)y=0時，x=3，
∴點B的坐標(biāo)為（3，0）．
（2）將點B（3，0）、C（0，3）代入y=-x²+bx+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=-9+3b+c}\\{3=c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴該拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．
（3）假設(shè)存在，設(shè)點E的坐標(biāo)為（m，-m²+2m+3）（0＜m＜3），則點F（m，-m+3），
∴EF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m=-$（m-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{9}{4}$，
∵-1＜0，
∴當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時，EF取最大值，最大值為$\frac{9}{4}$，此時點E的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
故當(dāng)點E的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）時，線段EF長取最大值，最大值為$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征找出點B、C的坐標(biāo)；（2）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)點的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．