Question

16．如圖，拋物線l：y=-x²+bx+c（b，c為常數(shù)），其頂點E在正方形ABCD內(nèi)或邊上，已知點A（1，2），B（1，1），C（2，1）．
（1）直接寫出點D的坐標(biāo)；
（2）若l經(jīng)過點B，C，求l的解析式；
（3）設(shè)l與x軸交于點M，N，當(dāng)l的頂點E與點D重合時，求線段MN的值；
當(dāng)頂點E在正方形ABCD內(nèi)或邊上時，直接寫出線段MN的取值范圍；
（4）若l經(jīng)過正方形ABCD的兩個頂點，直接寫出所有符合條件的c的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得D點的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)頂點橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)越大，與x軸交點的線段越長，根據(jù)頂點橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)越小，與x軸交點的線段越短，可得答案；
（4）根據(jù)待定系數(shù)法，可得c的值，要分類討論，以防遺漏．

解答 解：（1）由正方形ABCD內(nèi)或邊上，已知點A（1，2），B（1，1），C（2，1），得
D點的橫坐標(biāo)等于C點的橫坐標(biāo)，即D點的橫坐標(biāo)為2，
D點的縱坐標(biāo)等于A點的縱坐標(biāo)，即D點的縱坐標(biāo)為2，
D點的坐標(biāo)為（2，2）；
（2）把B（1，1）、C（2，1）代入解析式可得
$\left\{\begin{array}{l}{1=-1+b+c}\\{1=-4+2b+c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=-1}\end{array}\right.$
所以二次函數(shù)的解析式為y=-x²+3x-1；
（3）由此時頂點E的坐標(biāo)為（2，2），得
拋物線解析式為y=-（x-2）²+2
把y=0代入得-（x-2）²+2=0
解得x₁=2-$\sqrt{2}$，x₂=2+$\sqrt{2}$，
即N（2+$\sqrt{2}$，0），M（2-$\sqrt{2}$，0），
所以MN=2+$\sqrt{2}$-（2-$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$．
點E的坐標(biāo)為B（1，1），得
拋物線解析式為y=-（x-1）²+1
把y=0代入得-（x-1）²+1=0
解得x₁=0，x₂=2，
即N（2，0），M（0，0），
所以MN=2-0=2．
點E在線段AD上時，MN最大，
點E在線段BC上時，MN最小；
當(dāng)頂點E在正方形ABCD內(nèi)或邊上時，2≤MN≤2$\sqrt{2}$； 
（4）當(dāng)l經(jīng)過點B，C時，二次函數(shù)的解析式為y=-x²+3x-1，
c=-1；
當(dāng)l經(jīng)過點A、D時，E點不在正方形ABCD內(nèi)或邊上，故排除；
當(dāng)l經(jīng)過點B、D時，$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=1}\\{-4+2b+c=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=-2}\end{array}\right.$，即c=-2；
當(dāng)l經(jīng)過點A、C時，$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=2}\\{-4+2b+c=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=1}\end{array}\right.$，即c=1；
綜上所述：l經(jīng)過正方形ABCD的兩個頂點，所有符合條件的c的值為-1，1，-2．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用正方形的性質(zhì)求頂點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵；利用頂點橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)越大，與x軸交點的線段越長得出頂點為D時MN最長，頂點為B時 MN最短是解題關(guān)鍵．