Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD是邊長為的正方形，矩形AEFG中AE=4，∠AFE=30°。將矩形AEFG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到矩形AMNH（如圖2），此時(shí)BD與MN相交于點(diǎn)O.

（1）求∠DOM的度數(shù)；

（2）圖2中，求D、N兩點(diǎn)間的距離；

（3）若將矩形AMNH繞點(diǎn)A再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到矩形APQR，此時(shí)點(diǎn)B在矩形APQR的內(nèi)部、外部還是邊上？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）120°；（2）；（3）點(diǎn)B在矩形APQR的內(nèi)部.

【解析】試題分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得∠BAM=15°，即可得∠OKB=∠AOM=75°，又由正方形的性質(zhì)，可得∠ABD=45°，然后利用外角的性質(zhì)，即可求得∠DOM的度數(shù)；

（2）首先連接AM，交BD于I，連接AN，由特殊角的三角函數(shù)值，求得∠HAN=30°，又由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可求得∠DAN=45°，即可證得A，C，N共線，然后由股定理求得答案；

（3）在Rt△ARK中，利用三角函數(shù)即可求得AK的值，與AB比較大小，即可確定B的位置．

試題解析：（1）依題意得：∠BAM=15°，

設(shè)MN與AB交于K，

∵四邊形AMNH是矩形，

∴∠M=90°，

∴∠AKM=90°-∠BAM=75°.

∴∠BKO=∠AKM=75°.

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABD=45°.

∴∠DOM=∠BKO+∠ABD=75°+45°=120°.

（2）連接AN，交BD于I，連接DN

∵AE=4，∠AFE=30°，∠AEF=90°，

∴AN=AF=2AE=8.

由旋轉(zhuǎn)得：∠DAH=15°，

∴∠DAN=45°.

∵正方形ABCD中，∠DAC=45°.

∴A、C、N共線.

∵正方形ABCD中，BD⊥AC，AD=AB=，

∴DI=AI=.

∴NI=AN-AI=8-3=5.

∴Rt△DIN中， .

（3）點(diǎn)B在矩形APQR的內(nèi)部，理由如下：

如圖，

依題意得：∠BAP=15°+15°=30°，

∵∠P=90°，

∴AK=2PK.

∵AP=4，AP2+PK2=AK2，

解得： ，

∵AB=，

∴點(diǎn)B在矩形APQR的內(nèi)部.