Question

1．如圖，AB是⊙O的直徑，D是$\widehat{AC}$的中點，弦AC與弦BD交于點E，點F在BD的延長線上，且DF=DE．
（1）求證：AF是⊙O的切線；
（2）若AD=5，AC=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）欲證明AF是⊙O的切線，只要證明∠FAD+∠DAB=90°，只要證明∠FAD=∠B即可．
（2）先在RT△ADM中求出DM=3，再根據(jù)sin∠C=sin∠B=$\frac{3}{5}$=$\frac{AD}{AB}$即可解決問題．

解答 解：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥EF，∠BAD+∠B=90°，
又∵DF=DE，
∴AF=AE，
∴∠FAD=∠EAD，
∵D是$\widehat{AC}$的中點，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠FAD=∠EAD=∠B，
∴∠FAB=∠FAD+∠BAD=∠BAD+∠B=90°，
∴AF是⊙O的切線．
（2）連接OD交AC于M．
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，
∴OD⊥AC，AM=CM=$\frac{1}{2}$AC=4，
∴AD=CD=5，
在Rt△DMC中，$DM=\sqrt{C{D^2}-C{M^2}}=3$，$sinC=\frac{DM}{CD}=\frac{3}{5}$，
∵∠B=∠C，
∴$sinB=sinC=\frac{3}{5}$，
∵∠ADB=90°，
∴$AB=\frac{AD}{sinB}=\frac{25}{3}$，
∴⊙O的半徑為$\frac{25}{6}$．

點評 本題考查切線的性質、垂徑定理、勾股定理、三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是靈活運用圓的有關知識，掌握切線的判定方法，屬于中考�？碱}型．