Question

4．如圖1，E為邊長為1的正方形ABCD中CD邊上的一動點（不含點C、D），以BE為邊作圖中所示的正方形BEFG
（1）求∠ADF的度數(shù)
（2）如圖2，若BF交AD于點H，連接EH，求證：HB平分∠AHE
（3）如圖3，連接AE、CG，作BM⊥AE于點M，BM交GC于點N，連接DN．當E在CD上運動時，求DN長度的變化范圍．

Answer 1

分析 （1）先利用同角的余角相等得出∠EFG=∠BEC，從而判斷出△BCE≌△EGF，即可EG=BC=CD，進而得出△FDG為等腰直角三角形即可；
（2）同（1）的方法判斷出△ABH≌△CBM，△BEH≌△BEM，進而得出∠AHB=∠BHE即可；
（3）同（1）方法判斷出△CPB≌△BMA，△BQG≌△EMB，進而得出CP=GQ=BM，又得出△CPN≌△GQN，得出NC=NG，最后根據(jù)點E的運動情況判斷出點E和C重合時，DN最小，用勾股定理求解即可，點E和點D重合時，DN最大，用勾股定理求解即可．

解答 解：（1）如圖1，

過點F作FG⊥DG交CD的延長線于G，
∴∠EFG+∠FEG=90°，
∵∠FEG+∠BEC=90°，
∴∠EFG=∠BEC，
在△BCE和△EGF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BCE=∠EGF}\\{∠BEC=∠FEG}\\{BE=EF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△EGF，
∴BC=EG
∴EG=BC=CD
∴DG=CE=FG
∴△FDG為等腰直角三角形
∴∠FDA=45°
（2）如圖2，

延長EC至M，且使CM=AH，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAH=∠BCM=90°，
在△ABH和△BCM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠BAH=∠BCM}\\{AH=CM}\end{array}\right.$
∴△ABH≌△CBM（SAS），
∴∠AHB=∠CMB，BH=BM，
∵BE是正方形BEFG的對角線，
∴∠EBH=45°，
∴∠ABH+∠CBE=45°，
∴∠EBM=∠CBM+∠CBE=45°，
∴∠EBH=∠MBE，
在△BEH和△BEM中，$\left\{\begin{array}{l}{BH=BM}\\{∠EBH=∠EBM}\\{BE=BE}\end{array}\right.$
∴△BEH≌△BEM（SAS）
∴∠BHE=∠BME，
∵∠AHB=∠CMB，
∴∠AHB=∠BHE，
∴HB平分∠AHE；

（3）如圖3，

過點C作CP⊥BM于P，過點G作GQ⊥BM于Q，
∵∠ABM+∠CBM=90°，∠BCP+∠CBM=90°
∴∠ABM=∠BCP，
在△CPB和△BMA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BPC=∠AMB=90°}\\{∠BCP=∠ABM}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△CPB≌△BMA，
∴CP=BM，
同理：△BQG≌△EMB，
∴GQ=BM，
∴CP=GQ=BM
在△CPN和△GQN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CNP=∠GNQ}\\{∠CPN=∠GQN=90°}\\{CP=GQ}\end{array}\right.$
∴△CPN≌△GQN（AAS）
∴NC=NG，
當點E和C重合時，點G和點A重合，點P和點B重合，DN最小，DN_最小=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當點E和點D重合時，點M和點A重合，點G，A，D在同一條直線上，DN最大，點N是邊AB的中點，
∴AN=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，根據(jù)勾股定理得，DN最大=$\sqrt{A{D}^{2}+A{N}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$
∴$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$＜DN＜$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定，全等三角形的性質和判定，統(tǒng)計的余角相等，動點問題，解本題的關鍵是判斷出三角形全等，難點是判斷點和點C，點D重合時，DN分別達到最大值．