Question

13．已知：在△ABC中，∠BAC=60°．
（1）如圖1，若AB=AC，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且PB=5，PA=3，PC=4，直接寫出∠APC的度數(shù)．
（2）如圖2，若AB=AC，點(diǎn)P在△ABC外，且PA=3，PB=5，PC=4，求∠APC的度數(shù)；
（3）如圖3，若AB=2AC，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且PA=$\sqrt{3}$，PB=5，∠APC=120°，直接寫出PC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ADP為等邊三角形，從而判斷出△BPD為直角三角形，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△DAP是等邊三角形，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△BPD為直角三角形，即可；
（3）作出△ABQ∽△ACP，判斷出△APQ為直角三角形，從而得到△BPQ為直角三角形，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．

解答 解：（1）把△APC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B，得到△ADB，連結(jié)DP．

由旋轉(zhuǎn)可知AD=AP，BD=PC，∠DAB=∠PAC，
∴∠DAP=∠BAC=60°，
∴△ADP為等邊三角形，
∴DP=PA=3，∠ADP=60°，
∵PB=5，BD=PC=4，PD=3，
∴PD²+BD²=PB²
∴∠BDP=90°，
∴∠APC=∠ADB=∠ADP+∠PDB=60°+90°=150°．

（2）如圖2，

把△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，得到△ADB，連接PD，
∴△APC≌△ADB，
∴AD=AP=3，DB=PC=4，∠PAC=∠DAB，∠APC=∠2，
∴∠DAP=∠BAC，
∵∠BAC=60°，
∴∠DAP=60°，
∴△DAP是等邊三角形，
∴PD=3，∠1=60°，
∴PD²+DB²=3²+4²=5²=PB²，
∴∠PDB=90°，
∴∠2=30°，
∴∠APC=30°；

（3）如圖3

作△ABQ，使得：∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，則△ABQ∽△ACP，
∴∠AQB=∠APC=120°，
∵AB=2AC，
∴△ABQ與△ACP相似比為2，
∴AQ=2AP=2$\sqrt{3}$，BQ=2CP，∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°，
∵$\frac{AQ}{AP}$=2，
∴∠APQ=90°，PQ=3，
∴∠AQP=30°
∴∠BQP=∠AQB-∠AQP=120°-30°=90°，
根據(jù)勾股定理得，BQ=$\sqrt{P{B}^{2}-P{Q}^{2}}$=4，
∴PC=$\frac{1}{2}$BQ=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)和判斷方法，勾股定理，直角三角形的判定是解本題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)添加輔助線，構(gòu)造特殊三角形，屬于中考�？碱}型．