Question

【題目】已知正方形OABC的邊OC、OA分別在x、y軸的正半軸上，點B坐標(biāo)為（10，10），點P從O出發(fā)沿O→C→B運動，速度為1個單位每秒，連接AP．設(shè)運動時間為t．

（1）若拋物線y=﹣（x﹣h）2+k經(jīng)過A，B兩點，求拋物線函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)0≤t≤10時，如圖1，過點O作OH⊥AP于點H，直線OH交邊BC于點D，連接AD，PD，設(shè)△APD的面積為S，求S的最小值；
（3）在圖2中以A為圓心，OA長為半徑作⊙A，當(dāng)0≤t≤20時，過點P作PQ⊥x軸（Q在P的上方），且線段PQ=t+12：
①當(dāng)t在什么范圍內(nèi)，線段PQ與⊙A只有一個公共點？當(dāng)t在什么范圍內(nèi)，線段PQ與⊙A有兩個公共點？
②請將①中求得的t的范圍作為條件，證明：當(dāng)t取該范圍內(nèi)任何值時，線段PQ與⊙A總有兩個公共點．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=﹣（x﹣h）2+k經(jīng)過A、B兩點，

∴根據(jù)對稱性可知h=5，

將B（10，10）代入y=﹣（x﹣5）2+k，可得10=﹣25+k，

解得k=35，

∴拋物線函數(shù)關(guān)系式為y=﹣（x﹣5）2+35；

（2）解：如圖1，∵OD⊥AP，∠AOP=90°，

∴∠OAP+∠AOD=∠COD+∠AOD=90°，

∴∠OAP=∠COD，

又∵∠AOP=∠OCD=90°，AO=OC，

∴△AOP≌△OCD，

∴OP=CD=t，

∴CP=10﹣t，BD=10﹣t，

∵S△ADP=S正方形ABCO﹣S△AOP﹣S△ABD﹣S△CDP，

∴當(dāng)0≤t≤10時，S=10×10﹣ ×10t﹣ t（10﹣t）﹣ ×10（10﹣t）= t2﹣5t+50，

配方，得S= （t﹣5）2+ ，

∴當(dāng)t=5時，Smin=

（3）解：①如圖，當(dāng)點Q在⊙A上時，連接AQ，

∵PQ=12+t，PR=BC=10，

∴RQ=2+t，

又∵AQ=AB=10，AR=OP=t，

∴Rt△ARQ中，t2+（t+2）2=102，

解得t1=6，t2=﹣8（舍去），

∴當(dāng)t=6時，點Q落在⊙A上；

如圖，當(dāng)P在CB上時，CQ與⊙A相切，

當(dāng)點P與點C重合時，t=10；當(dāng)點P與點B重合時，t=20；

∴當(dāng)0≤t＜6或10≤t≤20時，線段PQ與⊙A只有一個公共點；

當(dāng)6≤t＜10時，線段PQ與⊙A有兩個公共點；

②如圖，當(dāng)6≤t＜10時，AR=t＜10，

∴⊙A與直線PQ相交，

又∵AP2=AO2+OP2=100+t2，即AP＞10，

∴點P在⊙A外，

又∵AQ2=AR2+RQ2=t2+（t+2）2，r2=100，

∴AQ2﹣r2=t2+（t+2）2﹣100=2（t+1）2﹣98，

∴當(dāng)6≤t＜10時，2（t+1）2﹣98≥0，

∴點Q在⊙A上或⊙A外，

綜上所述，當(dāng)6≤t＜10時，線段PQ與⊙A總有兩個公共點．

【解析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和二次函數(shù)的對稱性可求出h=5，再把B的坐標(biāo)代入解析式可求得；
（2）先證明△AOP≌△OCD可得OP=CD=t，從而可表示出CP和BD，根據(jù)S△ADP=S正方形ABCO﹣S△AOP﹣S△ABD﹣S△CDP可得S與t的關(guān)系式，從而求出S的最小值；
（3）①先求出點P與點C重合、與點B重合時的t的值以及Q落在圓A上時的t的值，結(jié)合題意可得t的取值范圍；
②由題意易得圓A與直線PQ相交和點P在圓外，在證明點Q在圓上或圓外即可.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的最值和勾股定理的概念的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．