Question

11．如圖，線段AC是菱形ABCD的一條對(duì)角線，過頂點(diǎn)A、C分別作對(duì)角線AC的垂線，交CB、AD的延長線于點(diǎn)E、F．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；
（2）若AD=5，AE=8，求四邊形AECF的周長．

Answer 1

分析 （1）利用平行線的判定方法得出AE∥CF，再利用菱形的對(duì)邊平行得出AF∥CE，進(jìn)而得出答案；
（2）利用菱形的性質(zhì)結(jié)合平行線的性質(zhì)得出∠BAE=∠E，進(jìn)而得出BE=AB，再利用平行四邊形的性質(zhì)得出答案．

解答 （1）證明：∵AE⊥AC，CF⊥AC，
∴AE∥CF，
∵菱形ABCD，
∴AF∥CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形；

（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA
∵AE⊥AC，
∴∠BAC+∠BAE=∠BCA+∠E=90°，
∴∠BAE=∠E，
∴AB=EB，
∵AD=5，
∴AB=EB=BC=5，
∵AE=8，
∴AE+EC=18，
∵四邊形AECF是平行四邊形，
∴四邊形AECF的周長是36．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定以及菱形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．